問題ＰＤＦ
以下の会話文中の〔 ア 〕から〔 ク 〕にあてはまる数を答えなさい.
Ｘ：次の図のように、複数の正三角形が横一列につながっているとき、
スタートＳからすべての頂点をちょうど１回ずつ通り、
ゴールＧまで移動する経路が何通りあるか考えてみよう。
Ｘ：正三角形が２個つながっているときは何通りあるかな。
Ｙ：数えてみると、〔 ア 〕通りあるね。
Ｘ：３個と４個のときはそれぞれ何通りあるかな。
Ｙ：数えてみると、３個のときは〔 イ 〕通り、４個のときは〔 ウ 〕通りあるね。
Ｘ：５個以上のときは数え上げるのが大変だから、少し工夫して考えてみよう。
スタートＳの次に頂点Ａを通った場合、ＡからゴールＧまで移動する経路を考えてごらん。
Ｙ：正三角形が〔 エ 〕個つながっているときと同じように考えられるから〔 オ 〕通りだね。
Ｘ：スタートＳの次に頂点Ｂを通った場合、ＢからゴールＧまで移動する経路はどうだろう。
Ｙ：正三角形が〔 カ 〕個つながっているときと同じように考えられるから〔 キ 〕通りだね。
Ｘ：そうだね。正三角形の数が多くても、場合分けをすれば効率良く数えられそうだね。
では、最後に正三角形が10個つながっているときは何通りになるか考えてみよう。
Ｙ：わかった。〔 ク 〕通りだね。
＠解説＠
Ｓから右か右上かで２通り。（ア…２）
右ルートは左上に戻らねばならないので１通り。
右上ルートはＳとＧの位置関係が前図と同じ→２通り
計３通り（イ…３）
＠＠
右ルートは１通りしかない。
右上ルートはＳとＧの位置関係が先ほどと同じで３通り。
計４通り（ウ…４）
ＡとＧは前図のＳとＧの位置関係と同じ。
正三角形４個の場合と同じ４通り（エ…４、オ…４）
Ｂからいったん左上に戻る必要がある。
正三角形２個の場合と形が同じになるから２通り（カ…２、キ…２）
情報整理。
正三角形の数→場合の数
２個→２
３個→１+２＝３
４個→１＋３＝４
５個→２＋４＝６
誘導のあった５個に注目すると、１個前と３個前を足した。
なぜ３個前なのか。
１度左に戻って帰ると、３個分の正三角形を消費している。
６個→６＋３＝９
７個→９＋４＝13
８個→13＋６＝19
９個→19＋９＝28
10個→28＋13＝41個（ク…41）
ア…２、イ…３、ウ…４、エ…４、オ…４、カ…２、キ…２、ク…41
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