2020年度 早稲田実業学校中等部入試問題【算数】大問5解説

下の図の5つの半円の中心は、いずれも点Aで、半径の比は1:2:3:4:5です。
また、四角形ABCDは平行四辺形で、EA=EBです。次の各問いに答えなさい。

(1)
CD:CGと、CG:GAを求めなさい。

(2)
三角形ABCと三角形AFGの面積の比を求めなさい。

(3)
三角形ABCと三角形GHIの面積の比を求めなさい。


@解説@
ジーと見てると気持ち悪くなってくる。
(1)

直角三角形ABCはABとACの長さの比が3:4。
ここから△ABCは3:4:5の直角三角形

∠ABC=、∠ACB=××=90°で角度を調査。
二等辺三角形ABEより、∠EAB=
∠GAF=90-∠EAB()=×
△AGFの内角で∠AGF=
対頂角で∠CGD=
△CDGの内角は×-90°となり、△ABCと相似
よって、CD:CG=3:4

△CDAは平行四辺形ABCDの半分で△ABCと合同。
内角は×-90°で、△CDA∽△CGD
CD:CA=CG:CD=3:4
CDで連比処理すると、CG=【9】、CA=【16】となり、
GA=【16】-【9】=【7】
よって、CG:GA=9:7

(2)

前問の連比を活用しよう!
△ABCと△ACDは合同なので、△ACDと△AFGの面積比がわかればいい。
各々内角が等しく相似。
3:4:5より、AD=⑳
斜辺の2乗で面積比を算出。
△ACD:△AFG=⑳×⑳:⑦×⑦=400:49
よって、△ABC:△AFG=400:49

(3)

△AJHに注目。
AJ:AH=4:3の直角三角形なので、△AJHの内角も×-90°。
△HGIは二等辺三角形となる。
また、AH=CD=⑫より、HG=⑫-⑦=⑤

IからACに垂線をひき、交点をKとする
二等辺三角形の頂角からおろした垂線は底辺を二等分するので、GK=KH
GH=⑤→GK=〇2.5
AB:GK=⑫:〇2.5より、
△ABC:△KIG=12×12:2.5×2.5=144:6.25
△GHIは△KIGの2倍だから、
△ABC:△KIG=144:6.25×2=288:25
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