2024年度　西大和学園中学過去問【算数】大問２解説

問題ＰＤＦ
（１）
正五角形ＡＢＣＤＥと正三角形ＣＤＦがあり、ＡとＤ、ＥとＦを結びました。
図の（あ）の角の大きさを求めなさい。

（２）
一辺の長さが３ｃｍと６ｃｍの長方形を底面とし、高さが９ｃｍの直方体から、図のように、一辺の長さが３ｃｍの正方形を底面とし高さが６ｃｍの直方体を切り取って、立体Ｖをつくりました。点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを結んでできる三角すいと立体Ｖの共通部分の体積は何ｃｍ³ですか。ただし、角すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求められます。

（３）
正方形ＡＢＣＤがあり、西さんは図１のように、正方形ＡＢＣＤの辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡを３：１に分ける点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈをとり、ＥＦ、ＦＧ、ＧＨ、ＨＥを結びました。大和さんは図２のように、正方形ＡＢＣＤの内側に大きさの同じ小さな正方形６つを入れました。ただし、４点Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌは小さな正方形の頂点で、それぞれが正方形ＡＢＣＤの辺上にあります。三角形ＥＢＦの面積が72ｃｍ²であるとします。

（ⅰ）正方形ＡＢＣＤの面積は何ｃｍ²ですか。
（ⅱ）ＩＢの長さとＢＪの長さの比ＩＢ/ＢＪを求めなさい。
（ⅲ）図２の小さな正方形１つの面積は何ｃｍ²ですか。

＠解説＠
（１）

正三角形と正五角形の２つの辺が関わる△ＤＥＦは二等辺三角形。
正五角形の１つの内角は108°だから、∠ＦＤＥ＝108－60＝48°
∠ＤＥＦ＝（180－48）÷２＝66°

△ＤＥＡも

（２）

まず、四面体ＡＢＣＤの体積を求めたいが、アングルがやらしい(´д｀)
どこを底面積に捉えるべきか。
ＢＤは横線、ＡＤは背面の斜め線。
ＢＤに沿って四面体を真横に切り取る。

赤線の面積は、６×３÷２＝９ｃｍ²
三角錐の高さは上下の合計９ｃｍ。四面体の体積は、９×９÷３＝27ｃｍ³

↑記号を打ちました。
空白の部分も底面積から捉える。△ＨＩＤとＡを結んだ三角錐が切られる。
△ＥＣＦと△ＡＧＦで相似→ＥＦ：ＦＧ＝①：②→ＦＧ＝３×②/③＝２ｃｍ
△ＦＧＨと△ＤＩＨで相似→ＧＨ：ＨＩ＝②：③→ＨＩ＝３×③/⑤＝1.8ｃｍ
切られる三角錐の体積は、３×1.8÷２×６÷３＝5.4ｃｍ³
求積すべき立体の体積は、27－5.4＝21.6ｃｍ³

（３）ⅰ

赤い長方形の面積は、72×２＝144ｃｍ²
赤い長方形：正方形ＡＢＣＤ＝（①×③）：（④×④）＝３：16
正方形の面積は、144×16/３＝768ｃｍ²

ⅱ
図１は使わない。

難関校の問題では線分が不足していたり、図形が欠けているパターンがある。
上図のように正方形を２個足して風車をつくると図形全体は90°の回転対称で、
左上と右下の正方形も外側の正方形に接する。

●＋×＝90°で等角を記すと、赤線の直角三角形が相似。
ＩＢ：ＢＪ＝１：２→ＩＢ/ＢＪ＝１/２

ⅲ

△ＩＢＪと斜辺が同じ長さの△ＪＮＭは合同。
△ＪＮＭと△ＭＮＯは相似→ＪＮ：ＮＭ＝ＭＮ：ＮＯ＝１：２だから、
ＪＮ＝１とすると、ＭＮ＝２、ＮＯ＝４
ＪＮ：ＮＯ＝１：４→面積比は①：④

場外に線を伸ばすと、灰色の長方形が⑤×２＝⑩
これは正方形２個分なので、正方形１個は⑤
正方形ＡＢＣＤは、（①＋⑤×３）×４＝〇64
小さい正方形の面積は、768×⑤/〇64＝60ｃｍ³
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