2021年度 渋谷教育学園渋谷中学過去問【算数】大問4解説

問題PDF
図1のような空の水槽に、高さ36cmの仕切りが立ててあります。仕切りの左側に給水管A、右側に給水管Bがあり一定の割合で水を注ぎます。仕切りの左側の底には、排水管Cがあり一定の割合で水を出します。仕切りの左右で入っている水の高さを測ります。

水槽は最初、空の状態で全ての管が閉じてあります。まずAとBを開き給水します。給水を始めてから20分までは、仕切りの右側の水の高さの方が高くなりました。給水してから初めて仕切りの左右に入っている水の高さの差が0cmになったとき、Aだけを閉じCを開きました。50分後に全ての管を閉めました。図2は、給水してからの時間と仕切りの左右に入っている水の高さの差の関係をグラフに表したものです。

次の問いに答えなさい。また、答えを求めるのに必要な式、考え方なども順序よくかきなさい。
(1)
Cは1分間あたり何L排水しますか。


50分後に全ての管を閉めたのと同時に、水の高さの差が0cmになるように仕切りを左に動かしました。仕切りを動かしたとき、仕切りの左から右への水の移動はありませんでした。また、仕切りを動かす時間は考えないものとし、仕切りを動かしたあともAとCは仕切りの左側で給水または排水します。仕切りを動かした後すぐに、全ての管を開きました。
仕切りを動かしてからのグラフの続きをかいたところ、図3のようになりました。

(2)
50分後に仕切りを左側に何cm動かしましたか。

(3)
図3の(ア)、(イ)、(ウ)にあてはまる数を求めなさい。


@解説@
(1)
はじめはB側の水面が高い。
18分後にB側からA側に水が流れ込み
20分後にA側とB側の水面の高さが仕切りの高さ36cmになって差が0cmとなる。

18分後の様子を作図する。A側の高さは36-6=30cm
B側の体積を18分で割れば、1分あたりのBの給水量が分かる。
Bの給水…20×40×36÷18=1600cm3=1.6L
念のため、Aの給水を求めておく。30×40×30÷18=2000cm3=2L
(AとBの体積比で考えても良い。
A:Bの底面積の比が3:2、高さの比が5:6だから、1.6L×3/2×5/6=2L)

Cが開くのは20~50分。
Aは閉じており、両者の差が広がるということはCの排水がBの給水を上回る

1分あたり、20cm÷30分=2/3cmずつ差が広がっている。
体積では、30×40×2/3=800cm3=0.8Lずつ減少する。
Bの給水が1.6Lだから、Cの排水は1.6+0.8=2.4L

(2)

50分後の様子を図示。20cm差だから、A側の高さは16cm。
仕切りを移動させるとA側とB側の水面が等しくなった。
→仕切りがない場合と同じ→2つの長方形の面積を均す
(30×16+20×36)
÷50=24cm

B側に注目。
高さの比は、移動前:移動後=36:24=3:2
面積は変わらないので横の長さは逆比。移動前:移動後=②:③
移動前の横の長さ20cmを②すると、
移動後の横の長さは③、仕切りを移動させた長さは①。
仕切りの移動距離は、20×①/②=
10cm

(3)

仕切りを移動して水面の高さを24cmにした後、
Cの排水によりA側が下がり、B側が上がる。
(イ)はB側の水がA側に流れ込み、A側の水面が再び上昇するとき
(ウ)で水面の高さが仕切りの高さ36cmに達して左右が等しくなる。

Bの給水は1分あたり1600cm3
B側の水面が36cmとなるのは、30×40×12÷1600=9分後
(イ)=50+9=59分後

Aの給水は1分あたり2000cm3、Cの排水は2400cm3だから、400cm3ずつ減少する。
A側は9分後に、400×9÷(20×40)=4.5cm下がる。
B側は+12cmで高さが36cmだから、このときの両者の差は(ア)=12+4.5=16.5cm

A側の16.5cm分を埋める。
Bの給水が加わることで、400cm3の減少に1600cm3を加算して1200cm3ずつ増加する。
20×40×16.5÷1200=11分後
(ウ)=59+11=70分後
ア…16.5、イ…59、ウ…70
難関中(算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメント

タイトルとURLをコピーしました