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次の図のようなマスに駒を置いて、次の<ルール>にしたがって駒を動かしていきます。
<ルール>
①駒が置かれたマスに書かれている数字の約数の個数が奇数個のときは1つ右のマスへ駒を動かす
②駒が置かれたマスに書かれている数字の約数の個数が偶数個のときは2つ右のマスへ駒を動かす
例えば、初めに駒が12のマスに置かれたとき、駒は
12のマス → 14のマス → 16のマス → 17のマス → …
と動きます。初めに1のマスに駒を置いて動かしたとき、次の問いに答えなさい。
(1)
1から20のマスのうち、駒が置かれたマスは何マスか求めなさい。
(2)
駒が100回目に置かれたマスに書かれている数字を求めなさい。
ただし、初めに1のマスに駒を置いたときを1回目とします。
(3)
101から200のマスのうち、駒が置かれなかったマスに書かれている数字をすべてかけたとき、
一の位から0が何個連続して並ぶか求めなさい。
@解説@
(1)
約数が奇数個→平方数
約数が偶数個→それ以外
20までに置かれるマス…1、2、4、5、7、9、10、12、14、16、17、19の12マス。
(2)
25まで伸ばして検証してみる。
奇数1→偶数2にチェンジ。
偶数4→奇数5にチェンジ。
奇数9→偶数10にチェンジ…
平方数は必ず踏むことになる。
さらに、平方数が切り替えのタイミングなので、そこで区切って該当するマスを数えると、
1個、2個、3個、4個…と連続する整数になっている。
1~13までの和…(1+13)×13÷2=91が100に近い→残り9個
91回目が169。その次が170(残り8)
100回目は、170+2×8=186
(3)
ここも平方数で仕切る。
偶数はたくさんあるので5の倍数を調べていく(*偶数×5の倍数=10の倍数)
偶数の5の倍数は一の位が0、奇数の5の倍数は一の位が5。
コマが置かれるマスと偶奇が反転する点に注意!
また、5の素因数は25の倍数に2個、125の倍数に3個含まれている。
101~121…110①・120①
122~144…125③・135①
145~169…150②・160①
170~196…175②・185①・195①
197~200…200②
計15個。
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