2022年度　栄東中学過去問・東大特待【算数】大問２解説

問題ＰＤＦ
〔Ｎ〕は整数Ｎを４で割った余りを表します。
たとえば、〔10〕＝２、〔11〕＝３、〔12〕＝０となります。
また、ＡとＢはどちらも２桁の整数とします。

（１）
〔Ａ〕＝０となるＡは〔　ア　〕個、〔Ａ〕＝１となるＡは〔　イ　〕個、
〔Ａ〕＝２となるＡは〔　ウ　〕個、〔Ａ〕＝３となるＡは〔　エ　〕個あります。
空欄にあてはまる数を答えなさい。

ここからの問題では、ＡとＢは異なる整数とし、たとえばＡ＝10、Ｂ＝12である組と
Ａ＝12、Ｂ＝10である組は異なる組とします。
（２）
〔Ａ〕＋〔Ｂ〕＝２となるＡとＢの組は何組ありますか。

（３）
〔〔Ａ〕＋〔Ｂ〕〕＝２となるＡとＢの組は何組ありますか。

（４）
〔〔Ａ〕＋〔Ｂ〕〕＝〔Ａ〕＋〔Ｂ〕となるＡとＢの組は何組ありますか。

〔Ａ〕＝１は、４の倍数＋１。
４の倍数が【12～96】の22個。
これに＋１すると【13～97】の22個。

〔Ａ〕＝２は、４の倍数＋２。
【14～98】と【10】で23個。

〔Ａ〕＝３は、４の倍数＋３。
【15～99】と【11】で23個。
ア…22個、イ…22個、ウ…23個、エ…23個
（*すべて足すと、２桁の整数の個数である90個）

（２）
前問の解答を用いるので、（１）はミスできない。
〔Ａ〕＝０…22個
〔Ａ〕＝１…22個
〔Ａ〕＝２…23個
〔Ａ〕＝３…23個

〔Ａ〕＋〔Ｂ〕＝２となる組み合わせは、
〔Ａ〕＝０、〔Ｂ〕＝２
〔Ａ〕＝２、〔Ｂ〕＝０
〔Ａ〕＝１、〔Ｂ〕＝１の３通り。

●〔Ａ〕＝０、〔Ｂ〕＝２
22×23＝506組
●〔Ａ〕＝２、〔Ｂ〕＝０
同様に506組
●〔Ａ〕＝１、〔Ｂ〕＝１
ＡとＢは異なる整数である点に注意！
４の倍数＋１は22個あるので、重複する数は22個ある。
22×22－22＝22×21＝462組
よって、506×２＋462＝1474組

（３）
〔〔Ａ〕＋〔Ｂ〕〕＝２となる組み合わせは、
〔Ａ〕＋〔Ｂ〕＝２の他に〔Ａ〕＋〔Ｂ〕＝６がある。
（*〔６〕＝２）

〔Ａ〕＋〔Ｂ〕＝６となる組み合わせは〔Ａ〕＝３、〔Ｂ〕＝３だけ。
重複に気をつけて、23×23－23＝23×22＝506組
前問の答えと足して、1474＋506＝1980組

（４）
〔〔Ａ〕＋〔Ｂ〕〕の値は、全体が〔　〕でくくられているので０～３の範囲。
〔Ａ〕＋〔Ｂ〕＝２は（２）より1474組。
（３）の1980組ではない点に注意！
（*〔Ａ〕＝３、〔Ｂ〕＝３のとき、〔〔Ａ〕＋〔Ｂ〕〕＝２だが〔Ａ〕＋〔Ｂ〕＝６である）

〔Ａ〕＋〔Ｂ〕＝０・１・３を調べる。
●〔Ａ〕＋〔Ｂ〕＝０
〔Ａ〕＝０、〔Ｂ〕＝０→重複に気をつけて、22×22－22＝462組

●〔Ａ〕＋〔Ｂ〕＝１
〔Ａ〕＝０、〔Ｂ〕＝１と〔Ａ〕＝１、〔Ｂ〕＝０
→22×22×２＝968組

●〔Ａ〕＋〔Ｂ〕＝３
〔Ａ〕＝０、〔Ｂ〕＝３と〔Ａ〕＝３、〔Ｂ〕＝０
〔Ａ〕＝１、〔Ｂ〕＝２と〔Ａ〕＝２、〔Ｂ〕＝１
23×22×2×２＝2024組
したがって、1474＋462＋968＋2024＝4928組
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