2022年度 栄東中学過去問・東大特待【算数】大問2解説

〔N〕は整数Nを4で割った余りを表します。
たとえば、〔10〕=2、〔11〕=3、〔12〕=0となります。
また、AとBはどちらも2桁の整数とします。

(1)
〔A〕=0となるAは〔 ア 〕個、〔A〕=1となるAは〔 イ 〕個、
〔A〕=2となるAは〔 ウ 〕個、〔A〕=3となるAは〔 エ 〕個あります。
空欄にあてはまる数を答えなさい。


ここからの問題では、AとBは異なる整数とし、たとえばA=10、B=12である組と
A=12、B=10である組は異なる組とします。
(2)
〔A〕+〔B〕=2となるAとBの組は何組ありますか。

(3)
〔〔A〕+〔B〕〕=2となるAとBの組は何組ありますか。

(4)
〔〔A〕+〔B〕〕=〔A〕+〔B〕となるAとBの組は何組ありますか。


@解説@
(1)
〔A〕=0は、2桁の整数で4の倍数の個数を求めればいい。
99÷4=24…3
9÷4=2…1
24-2=22個

〔A〕=1は、4の倍数+1。
4の倍数が【12~96】の22個。
これに+1すると【13~97】の22個。

〔A〕=2は、4の倍数+2。
【14~98】と【10】で23個。

〔A〕=3は、4の倍数+3。
【15~99】と【11】で23個。
ア…22個、イ…22個、ウ…23個、エ…23個
(*すべて足すと、2桁の整数の個数である90個)

(2)
前問の解答を用いるので、(1)はミスできない。
〔A〕=0…22個
〔A〕=1…22個
〔A〕=2…23個
〔A〕=3…23個

〔A〕+〔B〕=2となる組み合わせは、
〔A〕=0、〔B〕=2
〔A〕=2、〔B〕=0
〔A〕=1、〔B〕=1の3通り。

●〔A〕=0、〔B〕=2
22×23=506組
●〔A〕=2、〔B〕=0
同様に506組。
●〔A〕=1、〔B〕=1
AとBは異なる整数である点に注意!
4の倍数+1は22個あるので、重複する数は22個ある。
22×22-22=22×21=462組
よって、506×2+462=1474組

(3)
〔〔A〕+〔B〕〕=2となる組み合わせは、
〔A〕+〔B〕=2の他に〔A〕+〔B〕=6がある。
(*〔6〕=2

〔A〕+〔B〕=6となる組み合わせは〔A〕=3、〔B〕=3だけ。
重複に気をつけて、23×23-23=23×22=506組
前問の答えと足して、1474+506=1980組

(4)
〔〔A〕+〔B〕〕の値は、全体が〔 〕でくくられているので0~3の範囲
〔A〕+〔B〕=2は(2)より1474組。
(3)の1980組ではない点に注意!
(*〔A〕=3、〔B〕=3のとき、〔〔A〕+〔B〕〕=2だが〔A〕+〔B〕=6である)

〔A〕+〔B〕=0・1・3を調べる
●〔A〕+〔B〕=0
〔A〕=0、〔B〕=0→重複に気をつけて、22×22-22=462組

●〔A〕+〔B〕=1
〔A〕=0、〔B〕=1と〔A〕=1、〔B〕=0
→22×22×2=968組

●〔A〕+〔B〕=3
〔A〕=0、〔B〕=3と〔A〕=3、〔B〕=0
〔A〕=1、〔B〕=2と〔A〕=2、〔B〕=1
23×22×2×2=2024組
したがって、1474+462+968+2024=4928組
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