2025年度　堀川高校（探求学科群）過去問【数学】大問６解説

問題ＰＤＦ
放物線ｙ＝ｘ²上に２点Ａ（ａ、ａ^２）,Ｂ（ｂ、ｂ^２）をとる。
また、ｘ軸上に点Ｃ（ａ、０）,Ｄ（ｂ、０）をとる。
線分ＣＤを二等分する点をＭとし、点Ｍの座標を（ｍ、０）とする。
ただし、ｂ＞ａ＞０とする。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）
ｍをａとｂを用いて表しなさい。

（２）
放物線上に点Ｅ（ｍ、ｍ^２）をとる。
ｂ－ａ＝ｄとして、△ＡＢＥの面積をｄを用いて表しなさい。

（３）
ｋは１≦ｋ≦17を満たす整数とする。点Ｑ_ｋの座標は（ｋ、ｋ^２）である。
例えば、点Ｑ_１の座標は（１、１）, 点Ｑ_２の座標は（２、４）である。
このとき、Ｑ_１からＱ₁₇の17個の点を頂点とする十七角形の面積を求めなさい。

（２）

ｙ＝ｘ²にｘ＝（ａ＋ｂ）/２を代入→Ｅのｙ座標は（ａ＋ｂ）²/４
Ｅの真上でＡＢとの交点をＦとする。
ＦはＡＢの中点→Ｆのｙ座標は（ａ²＋ｂ²）/２
△ＡＢＥは幅ｂ－ａ＝ｄ、高さＦＥだから、
１/２ｄ｛（ａ²＋ｂ²）/２－（ａ＋ｂ）²/４｝
＝１/２ｄ｛（２ａ²＋２ｂ²－ａ²－２ａｂ－ｂ²）/４｝
＝１/２ｄ｛（ｂ²－２ａｂ＋ａ²）/４｝
＝１/２ｄ｛（ｂ－ａ）²/４｝
＝１/２ｄ・１/４ｄ²
＝１/８ｄ³

（３）
前問より、三角形の面積は幅ｄを用いて１/８ｄ³で求められる。
→十七角形を三角形に分割する。

Ｑ_１～Ｑ₁₇はあいだの数が16個。半分のＱ_１～Ｑ_９で考えてみる。
三角形は３つの頂点が必要なので、最も小さい三角形はｄ＝２となる４個。

次に大きいのはｄ＝４の２個、最も大きいのはｄ＝８の１個。
全部を合わせると、九角形の面積が求まる。

↑このようなイメージをする。
ｄ＝２が８個、ｄ＝４が４個、ｄ＝８が２個、ｄ＝16が１個
十七角形の面積は、１/８×２³×８＋１/８×４³×４＋１/８×８³×２＋１/８×16³×１
＝８＋32＋128＋512
＝680