問題ＰＤＦ
（１）
下の図のような三角形ＡＢＣにおいて、辺ＢＣを三等分する点をＢに近い方から
Ｄ、Ｅとする。辺ＡＣ上にＡＰ：ＰＣ＝１：２となる点Ｐを、辺ＡＢ上に
ＡＱ：ＱＢ＝１：８となる点Ｑをそれぞれとり、ＤＰとＥＱの交点をＲとする。
このとき、四角形ＡＱＲＰの面積は三角形ＤＥＲの面積の何倍か。
（２）
一辺の長さが12である正方形を底面とし、高さが６である図のような直方体において、
ＡＢの中点をＭとし、辺ＥＦ上の点でＥＮ＝10となる点Ｎをとる。
３点Ｍ、Ｎ、Ｇを含む平面で直方体を切断すると、点Ｆを含む立体の体積は（あ）になる。
さらに、３点Ａ、Ｄ、Ｇを含む平面で切断したとき、もとの直方体は合計４つの立体に分かれるが、
その中で体積が最も小さい立体の体積をＶ１、体積が最も大きい立体の体積をＶ２とする。
このとき、Ｖ２－Ｖ１の値は（い）である。
（３）
図の七角形ＡＢＣＤＥＦＧは正七角形である。
直線ＢＧと直線ＣＤの交点をＰとするとき、∠ＡＧＣ＝∠ＧＰＣであることを証明せよ。
@解説@
（１）
四角形ＡＱＲＰと△ＤＥＲの面積比を求めたい。
四角形が曲者なので、ＰＱで分割してみる。
Ｅを通るＰＱに平行な線をひき、交点をＦ・Ｇとする。
まず、ＡＰ：ＰＣ＝ＢＤ：ＤＣ＝１：２から、△ＡＢＣ∽△ＰＤＣ→ＡＢ//ＰＤ
四角形ＰＱＦＧは２組の対辺が平行。
ＰＱ＝１とすると、平行四辺形の対辺よりＧＦ＝１
△ＢＥＦ∽△ＤＥＧより、ＥＧ＝ＧＦ＝１
ＰＱ＝ＥＧ、ＰＱ//ＥＧから、１辺両端角相等より△ＧＥＲ≡△ＰＱＲ
ＥＲ＝ＲＱ
ＣＲを延長し、ＡＢとの交点をＨとする。
ＰＱとＣＨが平行っぽい。そこでＱＨの比を調べてみる。
メネラウスの定理を用いる。
（ＱＨ/ＨＢ）×（ＢＣ/ＣＥ）×（ＥＲ/ＲＱ）＝１
ＱＨ/ＨＢ＝１/３→ＱＨ：ＨＢ＝①：③
ＱＨ＝８×①/④＝２
ＨＢ＝８－２＝６
ＡＰ：ＰＣ＝ＡＱ：ＱＨ＝１：２より、ＰＱ//ＣＨ
△ＢＣＨ∽△ＤＣＲより、ＤＲ＝６×２/３＝４
細かく書くとこうなる。
水色×青で面積比を求めると、四角形ＡＱＲＰ：△ＤＥＲ＝３：４
３/４倍
（２）あ
Ｎ→Ｍは左に４ズレるので、切断面はＧから左に４ズレるところでＣＤと交わる。
求積すべき立体は底面を四角形ＢＣＧＦとする断頭四角柱である。
高さは最長のＭＢ＝６ｃｍ、最小Ｇ＝０ｃｍの平均→高さ３ｃｍの四角柱とみなす。
体積は、12×６×３＝216ｃｍ3
い
切断面は面ＡＦＧＤ。
ＡＦとＭＮの交点をＯとする。
Ｖ１…底面が△ＮＯＦ、高さＧＦの三角錐。
Ｖ２…三角柱ＥＡＦ―ＨＤＧからＶ１を引いたもの。
Ｖ２－Ｖ１＝（三角柱－Ｖ１）－Ｖ１＝三角柱－Ｖ１×２
△ＮＯＦ∽△ＭＯＡより、△ＮＯＦの高さは６×１/４＝３/２ｃｍ
６×12÷２×12－２×３/２÷２×12÷３×２＝420ｃｍ３
（３）
∠ＡＧＣ＝∠ＧＰＣの証明。
四角形ＡＢＣＧと四角形ＤＥＦＣは、３辺が正七角形の隣り合う辺、１辺がその対角線に囲まれている。
→４辺が等しく、４つの内角も等しい→合同の四角形
（正七角形を回転させると、四角形ＡＢＣＧが四角形ＤＥＦＣに一致する）
対応する角で、∠ＡＧＣ＝∠ＤＣＦ
Ａを通る対称の軸で捉えると、Ｂ・Ｇ、Ｃ・Ｆは対応する点→ＢＧ//ＣＦ
同位角で∠ＤＣＦ＝∠ＣＰＧ
つなげると、∠ＡＧＣ＝∠ＧＰＣ
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公式解答を貼っておきます。
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