2025年度　慶應義塾志木高校過去問【数学】大問７解説

問題ＰＤＦ
放物線ｙ＝ｘ²上に異なる３点Ａ、Ｂ、Ｃがある。
２点Ｂ、Ｃを通る直線の傾きは－１であり、
線分ＢＣの垂直二等分線は点Ａで放物線と交わっている。
点Ａのｘ座標をａとし、２点Ｂ、Ｃを通る直線とｙ軸の交点を（０、ｋ）とする。
次の問に答えよ。

（１）
線分ＢＣの中点Ｍのｘ座標を求めよ。

（２）
線分ＢＣの長さをｋを用いて表せ。

（３）
ｋをａを用いて表せ。

（４）
△ＡＢＣが正三角形となるとき、ａの値を求めよ。

＠解説＠
（１）

Ｂ（ｂ、ｂ²）Ｃ（ｃ、ｃ²）とする。
ＢＣの中点Ｍのｘ座標は（ｂ＋ｃ）/２

（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）＝変化の割合（傾き）
ＢＣの傾きは－１だから、
（ｃ²－ｂ²）/（ｃ－ｂ）＝（ｃ＋ｂ）（ｃ－ｂ）/（ｃ－ｂ）＝（ｂ＋ｃ）＝－１
*ＢとＣはｙ軸について対称ではない→ｃ≠ｂ→ｃ－ｂ≠０なので、ｃ－ｂで約分が許される。
（ｂ＋ｃ）/２＝－１/２

（２）
ＢとＣは、ｙ＝－ｘ＋ｋとｙ＝ｘ²の交点だから、
ｘ²＝－ｘ＋ｋ
ｘ²＋ｘ－ｋ＝０
解の公式より、ｘ＝｛－１±√（１＋４ｋ）｝/２
*ｂ…｛－１－√（１＋４ｋ）｝/２、ｃ…｛－１＋√（１＋４ｋ）｝/２

ｃ－ｂ＝｛－１＋√（１＋４ｋ）｝/２－｛－１－√（１＋４ｋ）｝/２＝√（１＋４ｋ）
ＢＣの傾きは－１→√２倍すればＢＣの長さが求まる。
ＢＣ＝√（１＋４ｋ）×√２＝√（２＋８ｋ）

（３）
ＢＣ⊥ＡＭより、ＡＭの傾きは１
Ｍはｙ＝－ｘ＋ｋ上の点。
Ｍ（－１/２、１/２＋ｋ）→Ａ（ａ、ａ^２）
傾き１だから、ｘの増加量＝ｙの増加量
ａ＋１/２＝ａ²－ｋ－１/２
ｋ＝ａ²－ａ－１

（４）

（２）でＢとＣのｘ座標の差が√（１＋４ｋ）だったから、
ＭとＣのｘ座標の差は√（１＋４ｋ）/２
△ＡＢＣが正三角形→ＭＣ：ＡＣ＝１：√３
水色の直角二等辺の相似で、ＭとＡのｘ座標の差は√（１＋４ｋ）/２×√３＝√（３＋12ｋ）/２

Ａのｘ座標ａ＝－１/２＋√（３＋12ｋ）/２　←２倍して整理
２ａ＋１＝√（３＋12ｋ）　←２乗
４ａ²＋４ａ＋１＝３＋12ｋ　←ｋ＝ａ²－ａ－１を代入
４ａ²＋４ａ＋１＝３＋12ａ²－12ａ－12
８ａ²－16ａ－10＝０　←÷２
４ａ²－８ａ－５＝０
解の公式を適用して、ａ＝（４±６）/４＝－１/２、５/２
ａ＞０より、ａ＝５/２