問題ＰＤＦ
上の図１で、△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形である。
点Ｄは、線分ＢＣをＣの方向に延ばした直線上にある点である。
頂点Ａ、頂点Ｂ、点Ｄを通る円を円Ｏとする。
点Ｅは、円Ｏの内部または円周上の点で、直線ＢＣについて頂点Ａと同じ側にあり、
２点Ｃ、Ｄからの距離が等しい点である。
点Ａと点Ｄ、点Ｃと点Ｅ、点Ｄと点Ｅをそれぞれ結ぶ。
（１）
上の図２は、図１において、点Ｅが円Ｏの内部にあり、
頂点Ｃが点Ｏに一致するとき、線分ＣＥをＥの方向に延ばした直線と円Ｏとの交点をＦとし、
頂点Ｂと点Ｆを結んだ場合を表している。
ＡＣ：ＣＥ＝√２：１のとき、∠ＡＢＦの大きさは何度か。
（２）
上の図３は、図１において、点Ｅが円Ｏの内部にあり、ＢＣ：ＣＤ＝２：１、
∠ＢＡＣ＝∠ＣＥＤとなるとき、線分ＡＤと線分ＣＥとの交点をＧ、
線分ＤＥをＥの方向に延ばした直線と円Ｏとの交点をＨとし、
頂点Ａと点Ｈを結んだ場合を表している。
四角形ＡＢＤＨと△ＧＣＤの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。
（３）
上の図４は、図１において、ＢＣ＝ＣＤ、∠ＢＡＣ＝∠ＣＥＤとなる場合を表している。
点Ｅは、円Ｏの周上にあることを証明せよ。
＠解説＠
（１）
角の情報が見当たらない。
ＡＢ＝ＡＣ、円の半径から△ＡＢＣは正三角形→∠ＡＢＣ＝60°
ＡＣ：ＣＥ＝√２：１
√２と１といえば、どこかに直角二等辺三角形があると予想する。
半径でＣＤ＝√２、△ＥＣＤの辺は１：１：√２で直角二等辺三角形→∠ＥＣＤ＝45°
△ＢＣＦは二等辺三角形。
外角定理を適用して、∠ＦＢＣ＝45÷２＝22.5°
∠ＡＢＦ＝60－22.5＝37.5°
（２）
△ＡＢＣと△ＥＣＤは二等辺三角形。
おのおのの頂角が等しいので、底角（●）も等しい。
２角が等しく、△ＡＢＣ∽△ＥＣＤ
ＡＣ：ＥＤ＝②：①
また、∠ＡＣＢ＝∠ＥＤＣの同位角が等しいからＡＣ//ＨＤ
…なんとなく、ＡＨとＢＤも平行っぽい。
これをどうやって説明すべきか。
ここで円に注目する。
四角形ＡＢＤＨは円に内接しており、内接四角形の内角はその対角の外角に等しい。
∠ＡＢＤ（●）を上図のように移動させ、等しい錯角からＡＨ//ＢＤ
２組の対辺が平行ゆえ、四角形ＡＣＤＨは平行四辺形である。
△ＡＣＧ∽△ＤＥＧより、ＡＧ：ＧＤ＝２：１
△ＧＣＤの面積を１とすると、△ＡＣＧ＝２
ＡＤは平行四辺形ＡＣＤＨの対角線で、△ＡＣＤ＝△ＤＨＡ＝３
ＢＣ：ＣＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＣＤ＝２：１から、△ＡＢＣ＝６
したがって、四角形ＡＢＤＨ：△ＧＣＤ＝12：１
（３）
△ＡＢＣと△ＥＣＤは頂角が等しい二等辺三角形。
→おのおのの底角（●）が等しい。
ＢＣ＝ＣＤと合わせ、一辺と両端角が等しいので合同。
ＡＢ＝ＡＣ＝ＥＣ＝ＥＤ
ＡＥを結ぶ。
四角形ＡＢＤＥが円に内接すると指摘できれば、
点Ｅは円Ｏの周上にあるといえる。
∠ＡＢＣ＝∠ＥＣＤより、同位角が等しいのでＡＢ//ＥＣ
錯角で∠ＢＡＣ＝∠ＥＣＡ（▲）
２辺とあいだの角が等しいから、△ＡＢＣ≡△ＣＡＥ（≡△ＥＣＤ）
対応する角で、∠ＣＥＡ＝●
△ＡＢＣの内角から、●＋●＋▲＝180°
∠ＡＢＤ＋∠ＤＥＡ＝●＋（●＋▲）＝180°
対角の和が180°だから四角形ＡＢＤＥは円Ｏに内接するので、
点Ｅは円Ｏの周上にある。
＠別解＠
公式解答では、△ＡＢＣ≡△ＥＣＤを指摘したあとでＢＥを結び、
２辺とあいだの角から△ＡＢＤ≡△ＥＤＢ
対応する角で∠ＢＡＤ＝∠ＤＥＢ
ＡとＥは直線ＢＤについて同じ側にあることから、
円周角定理の逆を使ってＥが同一円周上にあると証明しています。
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