2025年度　嵯峨野高校（こすもす科）過去問【数学】大問３解説

問題ＰＤＦ
次の図のように、空間内に３つの線分ＯＡ、ＯＢ、ＯＦがあり、∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＦ＝∠ＦＯＡ=90°
である。点Ｃは線分ＯＦ上に、点Ｄは線分ＯＡ上に、点Ｅは線分ＯＢ上にあり、ＯＡ＝４ｃｍ、
ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝３ｃｍ、ＯＥ＝２ｃｍ、ＯＦ＝５ｃｍである。
線分ＢＣと線分ＥＦの交点をＰ、点Ｐから線分ＯＦにひいた垂線と線分ＯＦの交点をＨとし、
四面体ＯＡＢＣと四面体ＯＤＥＦが重なっている部分の立体をＫとする。
このとき、下の問い（１）～（４）に答えよ。ただし、（４）については、考え方がわかるように答え
を求める過程も答案用紙の解答欄に記入せよ。また、必要に応じて解答欄内の図を利用してもよい。
（１）
立体Ｋの面の数を答えよ。

（２）
直線ＰＨとねじれの位置にある直線を次の①～⑤からすべて選びなさい。
①直線ＯＤ　②直線ＯＥ　③ 直線ＥＦ　④ 直線ＦＤ　⑤直線ＡＢ

（３）
線分ＰＨの長さを求めよ。

（４）
立体Ｋの体積を求めよ。

＠解説＠
（１）

Ｋは２つの三角錐の共通部分。ＡＣとＤＦの交点をＩとする。
△ＥＤＯ・四角形ＥＯＣＰ・四角形ＤＯＣＩはわかりやすい。

（２）

ねじれの位置…延長しても交わらない、かつ平行でもない。
同一平面上にない関係をさす。
ＰＨとＥＯは平行、ＥＦとＰで交わる。
①④⑤

（３）

ＰＨを含む背面で分析する。
△ＢＯＣ∽△ＰＨＣより、ＢＯ：ＯＣ＝ＰＨ：ＨＣ＝１：１
△ＰＨＣは直角二等辺だから、ＰＨ＝ｘとおくと、ＨＣ＝ｘ
△ＥＯＦ∽△ＰＨＦより、ＥＯ：ＯＦ＝ＰＨ：ＨＦ＝ｘ：（ｘ＋２）＝２：５
内項と外項の積で、２（ｘ＋２）＝５ｘ
ｘ＝４/３
ＰＨ＝４/３ｃｍ

（４）

立体Ｋを△ＰＩＨで分割したくなるが、
留意すべき点はＩＨ⊥ＯＦとはいえないこと！
Ｈの位置はＰに依存する。ＰはＢＣとＥＦの交点であり、
ＩはＡＣとＤＦの交点で異なる２直線の交点だから、ＩＨ⊥ＯＦ（△ＥＤＯ//△ＰＩＨ）とは限らない。
分割が使いにくいので、発想を転換する。
【三角錐Ｅ―ＯＤＦ－三角錐Ｐ―ＣＩＦ＝立体Ｋ】
三角錐Ｅ―ＯＤＦの体積は、３×５÷２×２÷３＝５ｃｍ³
三角錐Ｐ―ＣＩＦの高さはＰＨ＝４/３ｃｍ
底面の△ＣＩＦの高ささえわかれば体積が求まる。

底面を分析する。
ＩからＯＦに垂線をひき、交点をＪとする。
ＩＪ＝ｘとする。
△ＯＡＣ∽△ＪＩＣより、ＡＯ：ＯＣ＝ＩＪ：ＪＣ＝ｘ：３/４ｘ
△ＯＤＦ∽△ＪＩＦより、ＤＯ：ＯＦ＝ＩＪ：ＪＦ＝ｘ：（３/４ｘ＋２）＝３：５
内項と外項の積で、９/４ｘ＋６＝５ｘ
11/４ｘ＝６
ｘ＝24/11
立体Ｋの体積は、５－２×24/11÷２×４/３÷３
＝５－32/33
＝133/33ｃｍ³