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2023年度 東京工業大学附属科学技術高等学校過去問【数学】大問2解説

問題PDF
図のように、長さが等しい棒を並べて、次の作業を行う。
〔作業Ⅰ〕正三角形を横一列につなげる。

〔作業Ⅱ〕正方形と長方形を、正方形から始めて交互に横一列につなげる。
ただし、正方形は長方形にふくめないものとし、長方形の横の長さは縦の長さの2倍とする。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
〔作業Ⅰ〕において、正三角形を200個つくるのに必要な棒の数を求めなさい。

(2)
〔作業Ⅱ〕において、700本の棒を並べて、最後に正方形をつなげて作業を終えた。
このとき、つくった正方形の数を求めなさい。

(3)
1930本の棒を並べて、〔作業Ⅰ〕〔作業Ⅱ〕をともに進めたところ、
〔作業Ⅰ〕でつくった正三角形の数と〔作業Ⅱ〕でつくった長方形の数の合計は295個だった。
このとき、つくった正三角形と長方形の数をそれぞれ求めなさい。
ただし、〔作業Ⅱ〕において、最後に長方形をつなげて作業を終えたものとする。


@解説@
(1)
正三角形の個数に対応するように、棒をうまく分ける。

最初の1本だけを除外すると、正三角形の個数分だけ棒が2本ずつ追加される
1+2×200=401本

(2)

正方形で終わった→正方形の右端の辺を周期の末端にして区切る
最初の4本を除いて、700-4=696本
1周期に棒は8本、正方形は1個。
696÷8=87周期→87個
最初の正方形を足して88個。

(3)
連立方程式。

正三角形の個数をx個とすると、棒の本数は2x+1本。
長方形の個数をy個とする。
長方形で終わった→長方形の右端の辺を周期の末端とすると、棒の本数は8y+1本。

x+y=295 …①
(2x+1)+(8y+1)=1930
2x+8y=1928 …②

②-①×2をして、6y=1338
y=223
①に代入、x=295-223=72
正三角形…72個、長方形…223個
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