2025年度　都立西高校過去問【数学】大問４解説

問題ＰＤＦ
中学生のＫさんとＬさんは、数学の授業で次のような奇数についての【性質】を学習した。
次の各問に答えよ。

〔問１〕
１から始まる連続する正の奇数の和が64になるとき、
１から始まる連続する正の奇数の中で最大の数を求めよ。

【性質】を学習したＫさんは、１以外の奇数から始まる連続する正の奇数の和にどのような性質が
あるのかを調べ、授業で【Ｋさんが気付いた性質】を発表した。

Ｋさんは、【Ｋさんが気付いた性質】から、次の【Ｋさんの疑問】を整理した。

〔問２〕
【Ｋさんの疑問】において、１以外の奇数から始まる連続する６個の正の奇数の和が360になる場合があれば、
連続する６個の奇数の中で最小の奇数を求め、ない場合には、ない理由を説明せよ。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や考え方なども書け。

続いて、K さんが授業で発表した【Ｋさんが気付いた性質】をもとに、
先生が次の【先生が作った課題】を出した。

ＫさんとＬさんが、この【先生が作った課題】に取り組むために、グループで話し合いを行いながら
【Ｋさんのメモ】、【Ｌさんのメモ】に考えの過程をそれぞれ記した。

〔問３〕
【先生が作った課題】を解け。

＠解説＠
〔問１〕

64＝８×８→８番目の奇数を求めればいい。
８番目の奇数＝８番目の偶数－１
＝２×８－１
＝15

＠余談＠

連続する奇数の和が平方数になる⇒正方形になる。

〔問２〕
公式解答を見ます。
＠＠＠

＠＠＠
（１とｌが紛らわしいので、以下ではℓにします）
２ℓ－５、２ℓ－３、２ℓ－１、２ℓ＋１、２ℓ＋３、２ℓ＋５と対称的な並びにして、
６つの和が12ℓ＝360、ℓ＝30だから、最小数２ℓ－５＝２×30－５＝55
ℓ≧４の自然数とするのは、最小数が１以外の奇数なので、
２ℓ－５≧３→ℓ≧４の自然数になるからです。
もし、ℓが４未満であったり、自然数でないときは和が360になる場合がないので、
ℓの条件とその適否の記述が必要になります。

＠別解＠
問３のＫの考え方でも求められる。

連続する６個の正の奇数のうち、最大数を奇数のａ番目とすると、
ａ番目までの和から（ａ－６）番目までの和を引けばいい。
（ａ－５≧２より、ａ≧７の自然数）

ａ²－（ａ－６）²
＝（ａ＋ａ－６）（ａ－ａ＋６）
＝６（２ａ－６）＝360　←÷６
２ａ－６＝60
ａ＝33（ａの条件に適する）
最小数は33－５＝28番目の奇数だから、28×２－１＝55

＠余談＠

連続する６個の正の奇数は、段差が２である６段の階段で表される。
問題文より、19＋21＋…29＝144
和が360になる場合があるとすれば、144の階段を上に平行移動した６段が作れる。
360－144＝216
上に平行移動した数は、216÷６＝36　←割り切れたということは作れる。
最小数は、19＋36＝55

〔問３〕

数列をかくと上図のようになる。
ｍ番目は２ｍ－１
２ｍ＋１からｎ個の連続する奇数が連なり、ｍ＋ｎ番目までの和が2025になる。

（ｍ＋ｎ）²－ｍ²
＝（ｍ＋ｎ＋ｍ）（ｍ＋ｎ－ｍ）
＝ｎ（２ｍ＋ｎ）＝2025＝45×45
ｍとｎの条件は『ｍは自然数、ｎは２以上の自然数』しかない。

ｎ＜２ｍ＋ｎ
最大のｎは2025の約数のうち、45の１個手前である。
ｎ＝27
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