2025年度　西大和学園高校過去問【数学】大問４解説

問題ＰＤＦ
底面の正六角形の一辺の長さが２であり、側面の長方形の面積が４√３である正六角柱について考える。
図のように頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄをとり、ＡＢ、ＣＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとする。
次の各問いに答えよ。

（１）
正六角柱の体積を求めよ。

（２）
線分ＡＢの長さを求めよ。

（３）
線分ＭＮの長さを求めよ。

（４）
四面体ＢＣＭＮの体積を求めよ。

（２）

Ａの真下をＥとする。
１：２：√３の直角三角形より、ＢＥ＝２√３
△ＡＢＥは等辺が２√３の直角二等辺→ＡＢ＝２√３×√２＝２√６

（３）

Ａ→Ｂの動きを追うと、左に２個移動して下。
Ｃ→Ｄも同じ動きをする。
ということは、正六角柱を反時計回りに120°回転させると、ＡＢはＣＤと一致する。
ＡＢ＝ＣＤだから、これらの中点であるＭとＮは同じ高さにある。

Ｄの真上をＦとする。
Ｃ→Ｂ、Ｄ→Ｆと点の位置を入れ替えると、ＣＤ＝ＢＦ
（長方形ＣＢＤＦの対角線ＣＤからＢＦに切り替えるイメージ）
ＡＦの長さは、前問のＢＥと同じ２√３
△ＡＢＦで中点連結定理→ＭＮ＝２√３÷２＝√３

（４）

ＭＮの中点をＧとする。
四面体ＢＣＭＮの体積は、対称面の△ＧＢＣを底面と見立て、
高さの合計をＭＮとする三角錐を求めればいい。
ＧはＢＣからどれほど離れているか。

上からみた図で分析する。
ＣとＡＤは３離れるから、Ｇは３/２離れている。
２√３×３/２÷２×√３÷３＝３/２