2023年度 都立西高校【数学】大問4解説

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 nを1より大きい整数とし、1からnまでの整数を1つずつ書いたn枚のカードがある。これらn枚のカードをよく混ぜて、左から順に横一列に並べてできるn桁の数をAとする。このAについて、以下の【操作】を行う。次の図1から図3は、n=4でAが3421の場合について、それぞれの【操作】1から3を表している。

 今、Aに【操作】を繰り返し行い、一番左に書かれた数が1になったところで【操作】を終了する。また【操作】が終わるまでの回数をN(A)とする。ただし、Aの一番左の数が1であるときは【操作】を行わず、N(A)=0とする。
 例えば、n=4として、Aが3421の場合、【操作】を繰り返し行うと3421→2431→4231→1324となり、N(3421)=3である。
 次の各問に答えよ。

〔問1〕
N(31452)の値を求めよ。

〔問2〕
n=4とする。a、b、c、dは互いに異なる整数で1、2、3、4のいずれかとする。
以下の等式①、②、③が同時に成り立つとき、a、b、c、dの値を求めよ。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や考え方なども書け。

①N(abcd)+N(bcda)=N(abcd)
②N(abcd)×N(cadb)=N(abcd)
③N(abcd)=4

〔問3〕
n=5でN(A)≧1とする。
Aに行った【操作】が終了したときの数を調べたところ、12345や14235などは存在した。しかしどんなAで【操作】を行っても、【操作】が終了したときの数で、例えば、13254は存在しなかった。全てのAについて【操作】が終了したときに存在しなかった数を調べたところ、13254も含めて全部で9個の数があることが分かった。
 これら9個の数の中で3番目に大きい数を求めよ。


@解説@
問1
操作を確認する。
一番左に書かれてある数の枚数分、左から取り出して順番を左右入れ替える。
31452→(左3桁を入れ替える)→41352→(左4桁を入れ替える)→53142…
→24135→42135→31245→21345→12345
操作は7回だから、N(31452)=7

問2
西らしい変化球のある問題( ;゚∀゚)
分かってしまえば単純なので、臆することなく挑みたい。

①N(abcd)+N(bcda)=N(abcd)
両辺からN(abcd)を引く
N(bcda)=0
値が0ということは操作をしないので、左端のbは1である。

②N(abcd)×N(cadb)=N(abcd)
両辺をN(abcd)で割る
N(cadb)=1
cad1から操作1回で終了するので、c=4が確定。

③N(abcd)=4
操作回数は4回。
a14dでa=2だと操作が1回で終わってしまうから不適
a=3、d=2
3142→4132→2314→3214→1234◎
a=3、b=1、c=4、d=2

@@

書き方は公式解答を倣ってください。

問3
操作終了時にありえない数字が9個あり、そのうち3番目に大きい数を求める。

手順を逆にして、操作終了直前の数字を考える
12345は12をひっくり返して21345、123をひっくり返して32145。
同様に左4桁を逆にして43215、左5桁(全部)を逆にして54321が可能性として挙げられる。
14235は53241でありうる。
左端からの距離と番号が一致すると、その数は存在する

最も大きい15432はありえない。〇
次点の15423もありえない。〇
15342は左3桁と左4桁がありえる。×
15324は左3
桁で×。15243は左4桁で×。
15234はありえない。〇
3番目に大きいのは15234。
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