2025年度　須磨学園高校過去問【数学】大問３解説

問題ＰＤＦ
図のように、放物線Ｃ_１：ｙ＝ａｘ^２（ａ＞０）、放物線Ｃ_２：ｙ＝－１/３ｘ^２と、
原点Ｏを中心とする半径ｒの円Ｋがある。
放物線Ｃ_１と円Ｋの交点を点Ａ、Ｂとし、放物線Ｃ_２と円 K の交点を点Ｃ、Ｄとする。
ただし、点Ａ、Ｄのｘ座標は正である。また、点 E（ｒ、０）とする。
点Ｄの y 座標が－１、∠ＡＯＢ＝60°であるとき、以下の問いに答えなさい。

（１）
点Ｄの座標とｒの値を求めなさい。

（２）
点Ａの座標とａの値を求めなさい。

（３）
四角形ＯＥＡＢの面積を求めなさい。

（４）
線分ＢＣの長さと△ＯＢＣの面積を求めなさい。

（５）
直線ＢＣと直線ＡＥの交点を点Ｆとする。△ＯＦＣの面積を求めなさい。

＠解説＠
（１）
ｙ＝－１/３ｘ^２にｙ＝－１を代入。
－１/３ｘ^２＝－１
ｘ^２＝３
Ｄのｘ座標は正だから、ｘ＝√３
Ｄ（√３、－１）

１・√３ときたら、有名三角形の比を連想する。
青の直角三角形より、ＯＤ＝２
円の半径が２だから、ＯＥ＝２→Ｅ（２、０）

（２）

ＡとＢはｙ軸について対称→ＯＡ＝ＯＢ
△ＯＡＢは頂角60°の二等辺三角形⇒正三角形
ＡＢとｙ軸の交点をＨとする。
△ＯＡＨは１：２：√３の直角三角形だから、
ＨＡ＝１、ＨＯ＝√３
Ａ（１、√３）
＠＠
ｙ＝ａｘ^２にＡ（１、√３）を代入する。
ａ＝√３
Ａ（１、√３）,ａの値…√３

（３）

Ｂ（－１、√３）
ＢＡ＝ＯＥ＝２、ＢＡ//ＯＥ
四角形ＡＢＯＥは１組の対辺が平行で長さが等しい→平行四辺形
面積は、２×√３＝２√３

（４）

ｘ座標・ｙ座標の差から、ＢＣを斜辺とする直角三角形に三平方を使うと計算が大変。
有名三角形の比が多いので、角度を調査する。
円Ｋの左端とｘ軸との交点をＩとする。
∠ＢＯＩ＝90－30＝60°
（ＡＢ//ｘ軸の錯角から、∠ＨＢＯ＝∠ＢＯＩ＝60°でもいい）
（１）の水色の有名三角形から∠ＤＯＥ＝30°で、対称性から∠ＣＯＩ＝30°
∠ＢＯＣ＝60＋30＝90°
ＢＯ＝ＣＯと合わせると、△ＯＢＣは直角二等辺三角形。
１：１：√２より、ＢＣ＝２√２
△ＯＢＣ＝２×２÷２＝２
ＢＣ＝２√２、△ＯＢＣ＝２

（５）

△ＯＦＣ＝△ＯＢＣ（２）＋△ＯＦＢ
Ｆ座標を求めたいが、直線ＢＣの式がいやらしい。。
そこで、Ｆ座標抜きで△ＯＦＢの面積が求められないか。

（３）四角形ＡＢＯＥは平行四辺形であった。
ＢＯ//ＦＥより、△ＯＦＢを等積変形すると正三角形ＯＡＢになる。
△ＯＦＢ＝２＋２×√３÷２＝２＋√３