2025年度　都立国立高校過去問【数学】大問４解説

問題ＰＤＦ
下の図１で、立体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨは１辺の長さが４ｃｍの立方体である。
点Ｐは、頂点Ａと長さａｃｍのひもでつながっており、
立体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨの外部および全ての面、全ての辺上をひもが届く範囲で動く点である。
ただし、頂点Ａと点Ｐをつなぐひもは伸び縮みせず、太さは考えないものとする。
次の各問に答えよ。

〔問１〕
ａ＝４の場合を考える。次の（１）、（２）に答えよ。
（１）頂点Ｇと点Ｐを結んでできる線分ＧＰが最も長くなるときの線分ＧＰの長さは何ｃｍか。
（２）点Ｐが動き得る部分の体積は何ｃｍ^３か。

〔問２〕
ａ＝４√２の場合を考える。
四角形ＣＤＨＧの辺上または内部において、点Ｐが動き得る部分の面積は何ｃｍ^２か。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、図２に示した図を用いて、
途中の式や説明なども書け。
なお、下の図２に示した図は、立体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨの展開図の一部であり、
立体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨにおいて、頂点Ａと一致する点をＡ’としたものである。

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〔問１〕（１）

ＧＰが最も長くなる→ＰはＧＡの延長線上にある。
ＧＡは立方体の対角線…√（４²＋４²＋４²）＝４√３ｃｍ
ＧＰ＝４＋４√３ｃｍ

（２）

球面上にＢ・Ｄ・Ｅがくる。
立方体と被かぶるのは球の１/８。
求積すべき立体は球の７/８にあたる。
４/３π×４³×７/８＝224/３πｃｍ^３

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2020年度　浅野中学過去問【算数】大問４解説

問題ＰＤＦ長さ３ｃｍの１本の細いひもがあり、その両端を点Ｐ、点Ｑとします。このとき、次の〔　ア　〕～〔　ウ　〕にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。ただし、球の体積は、（半径）×（半径）×（半径）×（円周率）×４÷３で求められます。また、ひも...

浅野中学で類題が出ています。

〔問２〕
展開図を使い、平面に引き直して考える。

４√２ｃｍは正方形の対角線にあたる。
ＡとＡ’を中心に対角線を半径とする弧を描くと、
四角形ＣＤＨＧと被る部分が求積すべきエリアになる。
左下が重複して求めにくい。
弧の交点をＩとする。点Ｉを起点に図形を新しく構築する。

ＡＩ＝Ａ’Ｉ＝ＡＡ’より、△ＡＩＡ’は正三角形である。
また、弧ＣＩと弧ＨＩに付き合わなければならないので、
中心角の∠ＣＡＩ、∠ＨＡ’Ｉは必須である→ＣＡ・ＨＡ’に補助線。
△Ａ’ＡＣは直角二等辺→∠Ａ’ＡＣ＝90°
∠Ａ’ＡＩ＝60°だから、∠ＣＡＩ＝90－60＝30°