2021年度 中央大学附属高校過去問【数学】大問4解説

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S=n4-5n3-10n2+35n+49について、
次の問いに答えなさい。

1)
を展開しなさい。

(2)
とするとき、 をtの式で求めなさい。

(3)
Sを因数分解しなさい。

(4)
S=-26のとき、nの値を求めなさい。
ただし、nは自然数とする。


@解説@
(1


2-14+49/n2

(2)
まずはS÷n2を算出。

ここで前問を活用する。
2=(n-7/n)2=n2-14-49/n2 
この形を作れないかを考える

*-10=-14+4にして-14を作る。
2の形で整理するとtも見える。するとnがなくなる。
S/n2=t2-5t+4

(3)
前問の利用。
S/n2=t2-5t+4=(t-1)(t-4)

2行目:n2=n×nに分解して、それぞれのカッコにnをかけあわせる。
すると、分母のnが払われる。
S=
(n2-n-7)(n2-4n-7)

(4)
前問利用。
S=
-26=-1×26=-26×1=-2×13=-13×2

nは自然数なので、(n2-7)-n>(n2-7)-4n
2-n-7>n2-4n-7
◆26×(-1)のとき(n2-n-7=26、n2-4n-7=-1)

しかし、n2-n-7にn=9を代入しても26にならない。
2-4n-7に代入しても-1にならない。×

◆1×(-26)のとき
同様にn=9で、代入すると×。

◆13×(-2)のとき

n=5を代入してみる。
2-n-7=52-5-7=13
2-4n-7=52-4×5―7=-2〇

◆2×(-13)
n=5だが、代入してもダメ×

したがって、n=5
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