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2023年度 東京学芸大学附属高校過去問【数学】大問4解説

問題PDF
∠BAC=90°である直角二等辺三角形ABCを次の【手順】で折り、図1のように折り目をつける。
ただし、折り目をつけたら、そのたびに元の形に広げる。

ここで、∠BDH、∠HDF、∠FDG、∠GDI、∠IDCの大きさが等しいかどうかについて考える。
【手順】より、∠BDH=∠HDF=∠GDI=∠IDCが成り立つ。さらに、∠BDH=∠FDGが成り立つかどうかについて、次の【考察】のようにまとめた。

このとき、次の各問いに答えなさい。
(1)
[ あ ]にあてはまる値を求めなさい。

(2)
[ い ]にあてはまる値を求めなさい。

(3)
[ う ]~[ く ]について、次の各問いに答えなさい。
(ⅰ)[ え ]にあてはまる整数を求めなさい。
(ⅱ)[ う ][ お ][ か ][ き ][ く ]にあてはまる組み合わせとして最も適切なものを選びなさい。


@解説@
(1)

DはBCの中点、EはADの中点。
ADとFGの交点をJとすると、JはAEの中点。
△AFG∽△ABCの相似比は1:4だからFG=2cm→FJ=1cm

△ABDも直角二等辺なので、AD=BD=4cm
AJ:JD=1:3から、JD=3cm
△FJDで三平方→DF=√10cm

(2)
ここで別の図形に切り替わる。

角度を調べると、2角相等で△PQR∽△QSR
△PQSも二等辺で、QS=PS=2cm
SR=y-2cm
PQ:QR=QS:SRより、y:2=2:y-2
外項と内項の積から、y(y-2)=4
2-2y-4=0
解の公式より、y=1±√5
y>0だから、y=1+√5

@余談@

どこかで見かけたことのある人はいたと思う。
正五角形の辺と対角線の比が1:(1+√5)/2の黄金比になる図。

(3)(ⅰ)

求めたいのは∠BDH=∠FDG。
これが成り立つとすると、∠FDGは180÷5=36°で∠QPRと同じになるはず。
そこで、FG=QR=2cmとなる頂角36°の二等辺三角形PQRと比較する。

『xとyの値を比較する』の誘導に従う。
√9<√10<√16だから、√10は3より上。
√5=2.2360679(富士山麓オウム泣く)だから、√5+1≒3.23
…これだけでは比較できないので、√10をもう少し精査する。
3.12=9.61
3.22=10.24
3.12<10<3.22ということは、3.1<√10<3.2
以上より、√10<1+√5となる。

問題文にあてはめると、
√10(x;DF)<0.1×(え)<1+√5(y;PQ)
√10は3.2未満で1+√5は3.2を超えるから、(え)=32

(ⅱ)
角度を比較する。

DF=短、PQ=長に置き換える。
底辺の長さが等しい場合、頂角からの距離が短い方があいだの角は大きくなる
∠FDG>36°
∠FDGが五等分の36°より大きいということは、残りの4つの角()は36°より小さい。
∠BDH<∠QPR<∠FDG

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