2020年度 岡山朝日高校過去問【数学】大問5解説

下の図のように、原点Oと、関数y=4/3x2のグラフ上に点Aが、関数y=ax2のグラフ上に点Bがあり、点Aのx座標は5/4、点Bのx座標は-3である。また、y=ax2について、xの値が-3から0まで増加するときの変化の割合は-1である。


点Aのy座標とaの値を求めよ。


関数y=ax2のグラフ上に点Cを、x座標とy座標の和が10/3となるようにとる。
このとき、点Cの座標を求めなさい。ただし、点Cのx座標は正とする。

③(1)
②のとき、△OACを点Aを回転の中心として180°だけ回転移動した図形を△O’AC’とする。
ここで、点Oに対応する点がO’、点Cに対応する点がC’である。
直線O’C’と直線OBとの交点をDとするとき、点Dのx座標を求めよ。

(2)y軸上に点Eを、△BDC’と△O’C’Eの面積が等しくなるようにとるとき、
点Eのy座標を求めよ。ただし、点Eのy座標は正とする。


@解説@

うしろの設問の前提となるので必答。
y=4/3x2にx=5/4を代入。
y=4/3×(5/4)2=25/12

変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
x=-3のとき、y=9a
x=0のとき、y=0
(0-9a)/{0-(-3)}=-3a=-1
a=1/3
点Aのy座標…25/12、a=1/3

@別解@
y=ax2にグラフでxの値がp→qに増加したときに変化の割合はa(p+q)
a(-3+0)=-1
a=1/3


解答では途中式も記述する。
Cのx座標をtとする。C(t、1/3t2
t+1/3t2=10/3
2+3t-10
=(t+5)(t-2)=0
t>0だから、t=2
y=1/3×22=4/3
C(2、4/3)

③(1)
処理が大変(;´・ω・)

点対称は対応する辺の長さが等しい。
O’の座標はAのx座標とy座標を2倍する。O’(5/2、25/6)
AとCのx座標の差は2-5/4=3/4
y座標の差は25/12-4/3=3/4
C’(5/4-3/4、25/12+3/4)=C’(1/2、17/6)

C’O’の式を求める。
 25/6=5/2a+b
-)17/6=1/2a+b
 4/3=2a
a=2/3

17/6=1/2×2/3+b
b=5/2
O’C’;y=2/3x+5/2

B(-3、3)→BO;y=-x
Dはy=2/3x+5/2とy=-xの交点。
2/3x+5/2=-x
x=-3/2

@別解@

C’O’の式ですが、OCと平行であるから4/3÷2=2/3…と傾きがすぐでた(;`ω´)

(2)

DC’とC’Oのx座標の差はともに2。
C’はDO’の中点である。
これさえわかれば、△BDC’と△O’C’Eにおいて底辺はDC’=C’O’だから、
高さが等しい→平行線
Bを通る、DO’に平行な線を描き、y軸との交点がEとなる。
BEの傾きは2/3。
Bから右に3、上に2移動してE(0、5)
Eのy座標は5となる。
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