2025年度　都立日比谷高校過去問【数学】大問２解説

問題ＰＤＦ
下の図１で、点Ｏは原点、曲線ｆは関数ｙ＝ｘ²のグラフを表している。
点Ｐ、点Ｑは、ともに曲線 f 上にあり、点Ｐのｘ座標は点Ｑのｘ座標より小さい。
２点Ｐ、Ｑを通る直線をℓとする。
点Ｏから点（１、０）までの距離、および点Ｏから点（０、１）までの距離を
それぞれ１ｃｍとして、次の各問に答えよ。

〔問１〕
ＰＱ＝10ｃｍの場合を考える。次の（１）、（２）に答えよ。
（１）点Ｏと点Ｐ、点Ｏと点Ｑをそれぞれ結んだ場合を考える。
直線ℓがｘ軸と平行であるとき、△ＯＱＰの面積は何ｃｍ²か。

（２）直線ℓの傾きが２のとき、点Ｐのｘ座標を求めよ。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。
〔問２〕
上の図２は、図１において、一次関数ｙ＝ｘのグラフを表す直線をｍ、
直線ｍ上にある点をＲとした場合を表している。
点Ｐと点Ｒ、点Ｑと点Ｒをそれぞれ結び、ＰＲ＋ＲＱ＝ａｃｍとした場合を考える。
点Ｐのｘ座標が－１で、ℓ//ｍのとき、ａの値が最も小さくなるときのａの値を求めよ。

＠解説＠
〔問１〕（１）

直線ℓ//ｘ軸→ＰとＱはｙ軸について対称。
Ｑのｘ座標は、10÷２＝５
ｙ＝５²＝25
△ＯＱＰの面積は、10×25÷２＝125ｃｍ²

（２）

Ｐを通りｘ軸に平行な直線と、Ｑを通りｙ軸に平行な直線の交点をＨとする。
直線ℓの傾きが２だから、ＰＨ＝１、ＱＨ＝２
△ＰＨＱの辺の比で三平方→ＰＱ＝√５
ＰＨ＝10×１/√５＝２√５

Ｐのｘ座標をｔとすると、Ｑのｘ座標はｔ＋２√５
ｙ＝ａｘ²において、ｘの値がｐ→ｑに増加するときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）
変化の割合は傾き２なので、
１（ｔ＋ｔ＋２√５）
＝２ｔ＋２√５＝２
ｔ＝１－√５

＠＠
公式解答を貼っておきます。

〔問２〕

ℓ//ｍから直線ℓの傾きは１
切片はＰから右に１、上に１移動して２→ℓ：ｙ＝ｘ＋２
最短距離→点を線対称で移して直線にする。
ＰＯは傾き－１
ＰOとＰＱは傾きの積が－１だから垂直に交わる→∠ＱＰＯ＝90°
ＰＯ上でＰの原点対称となるＰ’（１、－１）をとる。
Ｐ’Ｑと直線ｍとの交点がＲとなる。

Ｑはｙ＝ｘ²とｙ＝ｘ＋２の交点だから、
ｘ²＝ｘ＋２
ｘ²－ｘ－２
＝（ｘ＋１）（ｘ－２）＝０
Ｑのｘ座標はｘ＞０だから、ｘ＝２→Ｑ（２、４）