2025年度　西京高校（エンタープライジング科）過去問【数学】大問２解説

問題ＰＤＦ
２つの放物線Ｃ：ｙ＝ｘ²、Ｄ：ｙ＝１/４ｘ²と直線ℓ：ｙ＝ｘ＋ｋ（ｋ＞０）がある。
Ｃとℓの交点をＰ（ｐ、ｐ^２）,Ｑ（ｑ、ｑ^２）（ｐ＜ｑ）とし、Ｄとℓの交点を
Ｒ（ｒ、１/４ｒ^２）,Ｓ（ｓ、１/４ｓ^２）（ｒ＜ｓ）とする。ただし、Ｏを原点とする。

（１）
直線ＰＱの傾きが１であることを利用して、ｐ＋ｑの値を求めよ。

（２）
ｒ＋ｓの値を求めよ。

（３）
３点（ｒ、０）,（ｑ、０）,（０、ｋ）を頂点とする三角形の面積と、
△ＯＱＳの面積が等しいとき、ｐの値を求めよ。

Ｐ（ｐ、ｐ^２）→Ｑ（ｑ、ｑ^２）より、
（ｑ^２－ｐ^２）/（ｑ－ｐ）
＝｛（ｑ－ｐ）（ｑ＋ｐ）｝/（ｑ－ｐ）　←ｑ－ｐ≠０だから約分OK
＝ｐ＋ｑ＝１

＠別解＠
ｙ＝ａｘ²において、ｘの値がｐ→ｑに増加するときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）
ａ＝１、変化の割合＝１だから、
１（ｐ＋ｑ）＝１
ｐ＋ｑ＝１

（２）
１/４（ｒ＋ｓ）＝１
ｒ＋ｓ＝４

（３）

２つの三角形の位置がバラバラ・・。
困ったときは、いったん前問の解答に目を向ける。
ｐ＋ｑ＝１
ｒ＋ｓ＝４
ｐを求めるので、４つの文字の関係性を三角形の等積から導きたい。
三角形の底辺か高さのどちらかを合わせると…

ｙ軸に平行な線を頼りに、△ｋｑｒ＝△ＯＱＲ
三角形の高さ一定→ＲＱ＝ＱＳより、ｑ－ｒ＝ｓ－ｑ
２ｑ＝ｒ＋ｓ＝４
ｑ＝２
ｐ＋ｑ＝１より、ｐ＝－１