問題PDF
aを正の定数とする。
放物線C:y=ax2と反比例のグラフD:y=a/x(x>0)の交点をAとする。
上図のようにC上でAより左側に点P、右側に点Qをとり、直線PQとDの交点をRとする。
点P、Qのx座標をp、qとする。直線PQの傾きがC、Dの比例定数aと等しく、
Rが線分PQの中点となるとき、次の問いに答えよ。
(1)
点Aの座標をaを用いて表せ。
(2)
p+qの値を求めよ。
(3)
点Rの座標をaを用いて表せ。
(4)
p、qの値をそれぞれ求めよ。
(5)
AP=AQとなるとき、aの値を求めよ。
@解説@
(1)
Aはy=ax2とy=a/xの交点。
ax2=a/x ←両辺をx倍
ax3=a ←両辺を÷a
x3=1
高2で虚数iを用いて三乗根ω(オメガ)を習いますが、
中学の範囲では□×□×□=1にあてはまる数は1しかないと感覚で答えるしかないと思う。
x=1
y=ax2に代入して、A(1、a)
(2)
直線PQの式をy=ax+bとする。
PとQはy=ax2とy=ax+bの交点。
ax2=ax+b
ax2-ax-b=0
ここで解の公式を適用。
求めたいのはp+qの値。pは負、qは正だから…
(3)
pとqの座標の距離はq-p。
Rのx座標はpとqの中点だから、
pから(q-p)/2を足せばいい。
p+(q-p)/2
=(2p+q-p)/2
=(p+q)/2=1/2
これをy=a/xに代入。
Rのy座標は、y=a÷1/2=2a
R(1/2、2a)
(4)
bがわかる。
y=ax+bの傾きaは右に1いくと上にaあがる。
Rから切片に移動すると、下に1/2a、左に1/2。
ここから切片は、2a-1/2a=3/2a
PとQはy=ax2とy=ax+3/2aの交点だから、
ax2=ax+3/2a
x2-x-3/2=0
2x2-2x-3=0
解の公式を適用、b=2b’が使える。
x=(1±√7)/2
p<0、q>0だから、p=(1-√7)/2、q=(1+√7)/2
(5)
AP=AQなので、△APQは二等辺三角形。
頂角Aから底辺PQの中点にあるRを結ぶとAR⊥PQ。
ARの傾きは、(a-2a)/(1-1/2)=-2a
2本の直線が直交するとき、傾きの積は-1。
PQの傾き…-1÷-2a=1/(2a) ←aは分母にある
これがy=ax+3/2aの傾きaと同じ。
a=1/(2a) ←両辺を2a倍
2a2=1
a2=1/2
a>0より、a=√2/2
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