問題ＰＤＦ
ａを正の定数とする。
放物線Ｃ：ｙ＝ａｘ2と反比例のグラフＤ：ｙ＝ａ/ｘ（ｘ＞０）の交点をＡとする。
上図のようにＣ上でＡより左側に点Ｐ、右側に点Ｑをとり、直線ＰＱとＤの交点をＲとする。
点Ｐ、Ｑのｘ座標をｐ、ｑとする。直線ＰＱの傾きがＣ、Ｄの比例定数ａと等しく、
Ｒが線分ＰＱの中点となるとき、次の問いに答えよ。
（１）
点Ａの座標をａを用いて表せ。
（２）
ｐ＋ｑの値を求めよ。
（３）
点Ｒの座標をａを用いて表せ。
（４）
ｐ、ｑの値をそれぞれ求めよ。
（５）
ＡＰ＝ＡＱとなるとき、ａの値を求めよ。
＠解説＠
（１）
Ａはｙ＝ａｘ2とｙ＝ａ/ｘの交点。
ａｘ2＝ａ/ｘ ←両辺をｘ倍
ａｘ3＝ａ ←両辺を÷ａ
ｘ3＝１
高２で虚数ｉを用いて三乗根ω（オメガ）を習いますが、
中学の範囲では□×□×□＝１にあてはまる数は１しかないと感覚で答えるしかないと思う。
ｘ＝１
ｙ＝ａｘ2に代入して、A（１、ａ）
（２）
直線ＰＱの式をｙ＝ａｘ＋ｂとする。
ＰとＱはｙ＝ａｘ2とｙ＝ａｘ＋ｂの交点。
ａｘ2＝ａｘ＋ｂ
ａｘ2－ａｘ－ｂ＝０
ここで解の公式を適用。
求めたいのはｐ＋ｑの値。ｐは負、ｑは正だから…
（３）
ｐとｑの座標の距離はｑ－ｐ。
Ｒのｘ座標はｐとｑの中点だから、
ｐから（ｑ－ｐ）/２を足せばいい。
ｐ＋（ｑ－ｐ）/２
＝（２ｐ＋ｑ－ｐ）/２
＝（ｐ＋ｑ）/２＝１/２
これをｙ＝ａ/ｘに代入。
Ｒのｙ座標は、ｙ＝ａ÷１/２＝２ａ
Ｒ（１/２、２ａ）
（４）
ｂがわかる。
ｙ＝ａｘ＋ｂの傾きａは右に１いくと上にａあがる。
Ｒから切片に移動すると、下に１/２ａ、左に１/２。
ここから切片は、２ａ－１/２ａ＝３/２ａ
ＰとＱはｙ＝ａｘ2とｙ＝ａｘ＋３/２ａの交点だから、
ａｘ2＝ａｘ＋３/２ａ
ｘ2－ｘ－３/２＝０
２ｘ2－２ｘ－３＝０
解の公式を適用、ｂ＝２ｂ’が使える。
ｘ＝（１±√７）/２
ｐ＜０、ｑ＞０だから、ｐ＝（１－√７）/２、ｑ＝（１＋√７）/２
（５）
ＡＰ＝ＡＱなので、△ＡＰＱは二等辺三角形。
頂角Ａから底辺ＰＱの中点にあるＲを結ぶとＡＲ⊥ＰＱ。
ＡＲの傾きは、（ａ－２ａ）/（１－１/２）＝－２ａ
２本の直線が直交するとき、傾きの積は－１。
ＰＱの傾き…－１÷－２ａ＝１/（２ａ） ←ａは分母にある
これがｙ＝ａｘ＋３/２ａの傾きａと同じ。
ａ＝１/（２ａ） ←両辺を２ａ倍
２ａ2＝１
ａ2＝１/２
ａ＞０より、ａ＝√２/２
国私立高校入試解説ページに戻る
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д｀)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい！
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ！
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
ＱＵＩＺ…☆４以上はムズいよ！
ｎｏｔｅも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのｎｏｔｅ
サボのツイッターはコチラ→
