2020年度 久留米大学附設高校過去問【数学】大問2解説


aを正の定数とする。
放物線C:y=ax2と反比例のグラフD:y=a/x(x>0)の交点をAとする。
上図のようにC上でAより左側に点P、右側に点Qをとり、直線PQとDの交点をRとする。
点P、Qのx座標をp、qとする。直線PQの傾きがC、Dの比例定数aと等しく、
Rが線分PQの中点となるとき、次の問いに答えよ。
(1)
点Aの座標をaを用いて表せ。

(2)
p+qの値を求めよ。

(3)
点Rの座標をaを用いて表せ。

(4)
p、qの値をそれぞれ求めよ。

(5)
AP=AQとなるとき、aの値を求めよ。


@解説@
(1)
Aはy=ax2とy=a/xの交点。
ax2=a/x ←両辺をx倍
ax3=a ←両辺を÷a
3=1
高2で虚数iを用いて三乗根ω(オメガ)を習いますが、
中学の範囲では□×□×□=1にあてはまる数は1しかないと感覚で答えるしかないと思う。
x=1
y=ax2に代入して、A(1、a)

(2)
直線PQの式をy=ax+bとする。
PとQはy=ax2とy=ax+bの交点。
ax2=ax+b
ax2-ax-b=0
ここで解の公式を適用。

 求めたいのはp+qの値。pは負、qは正だから…

(3)
pとqの座標の距離はq-p
Rのx座標はpとqの中点だから、
pから(q-p)/2を足せばいい。
p+(q-p)/2
=(2p+q-p)/2
=(p+q)/2=1/2

これをy=a/xに代入。
Rのy座標は、y=a÷1/2=2a
R(1/2、2a)

(4)
bがわかる。

y=ax+bの傾きaは右に1いくと上にaあがる。
Rから切片に移動すると、下に1/2a、左に1/2。
ここから切片は、2a-1/2a=3/2a

PとQはy=ax2とy=ax+3/2aの交点だから、
ax2=ax+3/2a
2-x-3/2=0
2x2-2x-3=0
解の公式を適用、b=2b’が使える。
x=(1±√7)/2
p<0、q>0だから、p=(1-√7)/2、q=(1+√7)/2

(5)

AP=AQなので、△APQは二等辺三角形。
頂角Aから底辺PQの中点にあるRを結ぶとAR⊥PQ
ARの傾きは、(a-2a)/(1-1/2)=-2a
2本の直線が直交するとき、傾きの積は-1
PQの傾き…-1÷-2a=1/(2a) ←aは分母にある
これがy=ax+3/2aの傾きaと同じ。
a=1/(2a) ←両辺を2a倍
2a2=1
2=1/2
a>0より、a=√2/2
国私立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
◆スポンサードリンク◆
株価が爆上げした『すららネット』様。


noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA