問題ＰＤＦ
ａを正の定数とする。
放物線Ｃ：ｙ＝ａｘ2と反比例のグラフＤ：ｙ＝ａ/ｘ（ｘ＞０）の交点をＡとする。
上図のようにＣ上でＡより左側に点Ｐ、右側に点Ｑをとり、直線ＰＱとＤの交点をＲとする。
点Ｐ、Ｑのｘ座標をｐ、ｑとする。直線ＰＱの傾きがＣ、Ｄの比例定数ａと等しく、
Ｒが線分ＰＱの中点となるとき、次の問いに答えよ。
（１）
点Ａの座標をａを用いて表せ。
（２）
ｐ＋ｑの値を求めよ。
（３）
点Ｒの座標をａを用いて表せ。
（４）
ｐ、ｑの値をそれぞれ求めよ。
（５）
ＡＰ＝ＡＱとなるとき、ａの値を求めよ。
＠解説＠
（１）
Ａはｙ＝ａｘ2とｙ＝ａ/ｘの交点。
ａｘ2＝ａ/ｘ ←両辺をｘ倍
ａｘ3＝ａ ←両辺を÷ａ
ｘ3＝１
高２で虚数ｉを用いて三乗根ω（オメガ）を習いますが、
中学の範囲では□×□×□＝１にあてはまる数は１しかないと感覚で答えるしかないと思う。
ｘ＝１
ｙ＝ａｘ2に代入して、A（１、ａ）
（２）
直線ＰＱの式をｙ＝ａｘ＋ｂとする。
ＰとＱはｙ＝ａｘ2とｙ＝ａｘ＋ｂの交点。
ａｘ2＝ａｘ＋ｂ
ａｘ2－ａｘ－ｂ＝０
ここで解の公式を適用。
求めたいのはｐ＋ｑの値。ｐは負、ｑは正だから…
（３）
ｐとｑの座標の距離はｑ－ｐ。
Ｒのｘ座標はｐとｑの中点だから、
ｐから（ｑ－ｐ）/２を足せばいい。
ｐ＋（ｑ－ｐ）/２
＝（２ｐ＋ｑ－ｐ）/２
＝（ｐ＋ｑ）/２＝１/２
これをｙ＝ａ/ｘに代入。
Ｒのｙ座標は、ｙ＝ａ÷１/２＝２ａ
Ｒ（１/２、２ａ）
（４）
ｂがわかる。
ｙ＝ａｘ＋ｂの傾きａは右に１いくと上にａあがる。
Ｒから切片に移動すると、下に１/２ａ、左に１/２。
ここから切片は、２ａ－１/２ａ＝３/２ａ
ＰとＱはｙ＝ａｘ2とｙ＝ａｘ＋３/２ａの交点だから、
ａｘ2＝ａｘ＋３/２ａ
ｘ2－ｘ－３/２＝０
２ｘ2－２ｘ－３＝０
解の公式を適用、ｂ＝２ｂ’が使える。
ｘ＝（１±√７）/２
ｐ＜０、ｑ＞０だから、ｐ＝（１－√７）/２、ｑ＝（１＋√７）/２
（５）
ＡＰ＝ＡＱなので、△ＡＰＱは二等辺三角形。
頂角Ａから底辺ＰＱの中点にあるＲを結ぶとＡＲ⊥ＰＱ。
ＡＲの傾きは、（ａ－２ａ）/（１－１/２）＝－２ａ
２本の直線が直交するとき、傾きの積は－１。
ＰＱの傾き…－１÷－２ａ＝１/（２ａ） ←ａは分母にある
これがｙ＝ａｘ＋３/２ａの傾きａと同じ。
ａ＝１/（２ａ） ←両辺を２ａ倍
２ａ2＝１
ａ2＝１/２
ａ＞０より、ａ＝√２/２
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