2020年度 土浦日本大学高校過去問【数学】大問4解説


図において、①はy=ax2のグラフである。
2点A(4、8)、B(2、b)は①上の点で、点C(0、c
)はy軸上の点である。
また、∠ACBの二等分線と①の交点のうち、x座標が正である点をDとする。
このとき、次の(  )をうめなさい。

(1)
a=(ア)/(イ)、b=(ウ)である。

(2)
c=11/2のとき、△ACBの面積は(エオ)/(カ)である。

(3)
AC+CBが最小になるとき、c=(キ)であり、CD=(ク)√(ケ)である。


@解説@
(1)
y=ax2にA(4、8)を代入。
8=16a
a=1/2

y=1/2x2にx=2を代入。
b=1/2×22=2
ア…1、イ…2、ウ…2

(2)

ABの式を求める。
B(2、2)→A(4、8)
右に2、上に6移動するので、傾きは6/2=3
B(2、2)から左に2、下に6移動して切片は-4。
AB;y=3x-4

ABとy軸の交点をEとする。
CE=11/2+4=19/2

AとBのx座標からBはAEの中点である
AB、BEを底辺とすると、△ACBと△BCEの高さは等しい。
△ACBと△BCEの面積は等しく、△ACBは△ACEの面積の半分
19/2×4÷2÷2=19/2
エ…1、オ…9、カ…2

(3)

AC+CBが最小→線対称。
y軸についてBを対称移動させた点をB’とする。
B’(-2、2)

B’Aに注目。
B’→Aの移動は右に6、上に6なので傾きは1。
切片はB’から右に2、上に2で4。
C(0、4)
c=4

B’Aの傾きは1で45度
線対称からCBの傾きも45度で、∠B’CB=90°
△BCB’は直角二等辺三角形で、∠CBB’=45°

∠BCA=90°、二等分線から∠DCB=45°
∠DCB=∠CBB’=45°で錯角が等しく、B’B//CD
Dのy座標はCと同じ4。これをy=1/2x2に代入。
4=1/2x2
8x2=0
x>0から、x=2√2
CDの長さはDのx座標と等しいので2√2。
キ…4、ク…2、ケ…2
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