2024年度　都立立川高校過去問【数学】大問２解説

問題ＰＤＦ
下の図１で、点Ｏは原点、曲線ℓはｙ＝ａｘ²（ａ＞０）のグラフ、点Ａは曲線ℓ上にあり、
ｘ座標が２の点、直線ｍは点Ａを通るｙ＝ｂｘ＋ｃ（ｂ≠０）のグラフを表している。
直線ｍとｘ軸との交点をＢとする。
原点から点（１、０）までの距離、および原点から点（０、１）までの距離をそれぞれ１ｃｍとして、
次の各問に答えよ。

〔問１〕
ｂ＝－１/４、ｃ＝９のとき、ａの値を求めよ。

〔問２〕
下の図２は、図１において、ｘ軸上にあり点Ａとｘ座標が等しい点をＣとし、
点Ａと点Ｃ、点Ａと点Ｏをそれぞれ結んだ場合を表している。
点Ｂのｘ座標が負の数、３ＡＣ＝ＢＣ、△ＯＡＢの面積が28ｃｍ²のとき、ａ、ｂ、ｃの値をそれぞれ求めよ。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

〔問３〕
下の図３は、図２において、点Ｂのｘ座標が点Ｃのｘ座標より大きいとき、
直線ｍとｙ軸との交点をＤとした場合を表している。
ａ＝３/２、△ＯＡＢの面積と△ＯＡＤの面積の比が４：１のとき、
△ＯＡＢをｙ軸の周りに１回転させてできる立体の体積をＳｃｍ³、
△ＯＡＤをｙ軸の周りに１回転させてできる立体の体積をＴｃｍ³とする。
ＳとＴの比を最も簡単な整数の比で表せ。
 

〔問２〕

３ＡＣ＝ＢＣということは、ＡＣ＝①、ＢＣ＝③とすると、
Ｂから右に③、上に①でＡだから、傾きｂ＝１/３

ｙ＝ａｘ²にｘ＝２を代入して、Ａ（２、４ａ）
ＢＣ＝12ａ→ＢＯ＝12ａ－２
ＡＣ＝４ａだから、△ＯＡＢの面積で等式を立てると、
（12ａ－２）×４ａ÷２＝28
６ａ²－ａ－７＝０
解の公式を適用、ａ＝（１±13）/12＝－１、７/６
ａ＞０より、ａ＝７/６
ＢＯ＝12×７/６－２＝12、傾きより切片ｃ＝ＢＯ×１/３＝12×１/３＝４
ａ…７/６、ｂ…１/３、ｃ…４

〔問３〕

△ＯＡＤ：△ＯＡＢ＝ＤＡ：ＡＢ＝①：④

大きな円錐（青）からＴを取り除くとＳ。
青とＴは高さがＤＯで共通→体積比は底面積の比である。
半径の比は青：Ｔ＝５：１だから、体積比は青：Ｔ＝25：１
したがって、Ｓ：Ｔ＝24：１
*ａ＝３/２は使わなくていい。
国私立高校入試解説ページに戻る