2023年度　東京学芸大学附属高校過去問【数学】大問３解説

問題ＰＤＦ

　上の図のように、点Ｏ（０、０）点Ａ（２、０）点Ｂ（１、０）がある。また、直線ｌと直線ｍがあり、直線ｌの式はｘ＝２、直線ｍの式はｘ＝１である。点Ｏから点（１、０）までの距離、および点Ｏから点（０、１）までの距離をそれぞれ１ｃｍとする。
点Ｐは点Ｏを出発し、ｘ軸上をｘ座標が増加する方向に毎秒１ｃｍの速さで動く。点Ｑは、点Ｐが出発するのと同時に点Ａを出発し、直線ｌ上をｙ座標が増加する方向に毎秒１ｃｍの速さで動く。点Ｒは、点Ｐが出発してから３/10秒後に点Ｂを出発し、直線ｍ上をｙ座標が増加する方向に毎秒１ｃｍの速さで動く。
点Ｐが点Ｏを出発してからｔ秒後について、次の各問いに答えなさい。ただし、３/10＜ｔ＜１とする。

（１）
ｔ＝１/２のときの直線ＱＲの傾きを求めなさい。

（２）
３点Ｐ、Ｑ、Ｒが１つの直線上にあるときのｔの値を求めなさい。

（３）
△ＰＱＲの面積が１/10ｃｍ²になるときのｔの値をすべて求めなさい。

＠解説＠
（１）

Ｒが出発するｔ＝３/10のとき、ＱＲの傾きは３/10。
これ以降はＱＲが上に平行移動するので傾きは常に３/10である。
ｔ＝１/２は３/10秒より後だから、ＱＲの傾きは３/10。

（２）

３点が一直線となるには、ＱＲ上にＰが乗っかればいい。
両端のＰとＱだけをみる。
Ｐ→Ｑは右に２－ｔ、上にｔ。
この傾きは３/10だから、２－ｔ：ｔ＝10：３
内項と外項の積で、10ｔ＝３（２－ｔ）
ｔ＝６/13

（３）

先ほどの一直線（ｔ＝６/13）のときは△ＰＱＲ＝０ｃｍ²
ここから３点を動かすと上図のようになる。
ＱＲの長さは変わらないことに目を向ける。
ＱＲを底辺とすると高さだけが長くなるので、△ＰＱＲの面積は一次関数で増加する。

一直線となるｔ＝６/13の前後で１/10ｃｍ²になるタイミングを探す。
△ＰＱＲの面積の変化の割合を求めたい。

求めやすい場所はｔ＝２
（問題文では３/10＜ｔ＜１だが、ｔ≧１でも面積の変化の割合は同じ）
△ＰＱＲ＝２×１÷２＝１ｃｍ²

６/13秒のとき→０ｃｍ²
２秒のとき→１ｃｍ²
２－６/13＝20/13秒で１ｃｍ²の変化。
１/10ｃｍ²になるのは、20/13×１/10＝２/13秒
つまり、６/13秒から±２/13秒の経過で△ＰＱＲ＝１/10ｃｍ²になる。
ｔ＝６/13±２/13＝４/13、８/13
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