問題ＰＤＦ
自然数Ｎを１、２、３、…、Ｎで割って、商と余りが何種類あるか考える。
ただし、余り０も１種類と考える。
たとえば、Ｎ＝５のとき
５÷１＝５…０
５÷２＝２…１
５÷３＝１…２
５÷４＝１…１
５÷５＝１…０
となる。よって、商は１、２、５なので３種類、余りは０、１、２なので、３種類である。
（１）
Ｎ＝15のとき、商は〔 〕種類、余りは〔 〕種類ある。
（２）
Ｎ＝2023のとき、商は〔 〕種類、余りは〔 〕種類ある。
＠解説＠
（１）
やってみる。
15÷１＝15…０
15÷２＝７…１
15÷３＝５…０
15÷４＝３…３
15÷５＝３…０
15÷６＝２…３
15÷７＝２…１
15÷８＝１…７
15÷９＝１…６
15÷10＝１…５
15÷11＝１…４
15÷12＝１…３
15÷13＝１…２
15÷14＝１…１
15÷15＝１…０
商は６種類、余りは８種類。
（２）
15の場合、÷８～÷15まで商が１、余りは７、６、５…０と降順になった。
割る数が割られる数の半分（もしくはその手前）だと商は２、
半分を超すと商は１、余りは〔割られる数－割る数〕から降順に０まであらわれる。
2023÷２＝1011…１
過半数は1012。
余りは2023－1012＝1011から始まり０まで→1012種類
＠＠
問題は商。
15の約数に目をつけても、商が切り替わるタイミングをつかむのが難しい。
割る数と商の関係性に注目すると、
15÷３＝５…０
15÷４＝３…３
↑ここで大小関係が逆転している。
÷３までが３種類、÷４以降が３種類で合計６種類。
逆転するポイントまでの商の種類は全体の半分なのでは？
余りが邪魔なので、商の分数を許容する。
割る数をＡ、商をＢとすると、2023÷Ａ＝Ｂ
ＡＢ＝2023
積が一定→反比例
442＝1936、452＝2025
442＜2023＜452
44＜√2023＜45
青枠の正方形は１辺√2023、その前後に着目する。
商の整数部分は2023÷44が45。2023÷45が44。
●を境に商のＢと割る数のＡが逆転し、（１、2023）（2023、１）のように座標が対称的に並ぶ。
１≦Ａ≦44（Ａは自然数）にＢの整数部分は何種類あるか。
2023÷44のとき、Ｂの整数部分は45。
2023÷43のとき、Ｂの整数部分は47。
Ａが43→44に変化すると商の整数部分が異なる。
Ａが42→43と１つずつ後ろに下がっていくと、変化の割合はさらに大きくなるので、
整数部分の重複はない→１≦Ａ≦44に商は44種類ある。
45≦Ａ≦2023においても対称性から44種類だから、全部で44×２＝88種類
商は88種類、余りは1012種類。
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