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2023年度 東海高校過去問【数学】大問2解説

問題PDF
自然数Nを1、2、3、…、Nで割って、商と余りが何種類あるか考える。
ただし、余り0も1種類と考える。

たとえば、N=5のとき
5÷1=5…0
5÷2=2…1
5÷3=1…2
5÷4=1…1
5÷5=1…0

となる。よって、商は1、2、5なので3種類、余りは0、1、2なので、3種類である。

(1)
N=15のとき、商は〔  〕種類、余りは〔  〕種類ある。

(2)
N=2023のとき、商は〔  〕種類、余りは〔  〕種類ある。


@解説@
(1)
やってみる。
15÷1=15…0
15÷2=7…1
15÷3=5…0
15÷4=3…3
15÷5=3…0
15÷6=2…3
15÷7=2…1
15÷8=1…7
15÷9=1…6
15÷10=1…5
15÷11=1…4
15÷12=1…3
15÷13=1…2
15÷14=1…1
15÷15=1…0
商は6種類、余りは
8種類。

(2)
15の場合、÷8~÷15まで商が1、余りは7、6、5…0と降順になった。
割る数が割られる数の半分(もしくはその手前)だと商は2、
半分を超すと商は1、余りは〔割られる数-割る数〕から降順に0まであらわれる

2023÷2=1011…1
過半数は1012。
余りは2023-1012=1011から始まり0まで→1012種類

@@
問題は商。
15の約数に目をつけても、商が切り替わるタイミングをつかむのが難しい。
割る数と商の関係性に注目すると、
15÷…0
15÷…3
↑ここで大小関係が逆転している。
÷3までが3種類、÷4以降が3種類で合計6種類。
逆転するポイントまでの商の種類は全体の半分なのでは?

余りが邪魔なので、商の分数を許容する。
割る数をA、商をBとすると、2023÷A=B
AB=2023
積が一定→反比例

442=1936、452=2025
442<2023<452
44<√2023<45

青枠の正方形は1辺√2023、その前後に着目する。
商の整数部分は2023÷44が45。2023÷45が44。
を境に商のBと割る数のAが逆転し、(1、2023)(2023、1)のように座標が対称的に並ぶ

1≦A≦44(Aは自然数)にBの整数部分は何種類あるか。

2023÷44のとき、Bの整数部分は45。
2023÷43のとき、Bの整数部分は47。
Aが43→44に変化すると商の整数部分が異なる。
Aが42→43と1つずつ後ろに下がっていくと、変化の割合はさらに大きくなるので、
整数部分の重複はない→1≦A≦44に商は44種類ある。
45≦A≦2023においても対称性から44種類だから、全部で44×2=88種類
商は88種類、余りは1012種類。
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