問題ＰＤＦ
４桁の正の整数Ｍがあり、Ｍの千の位の数と百の位の数をそれぞれ十の位の数と一の位の数とする２桁の正の整数をＡとし、Ｍの十の位の数と一の位の数をそれぞれ十の位の数と一の位の数とする２桁以下の整数をＢとする。例えば、Ｍ＝2023のときＡ＝20、Ｂ＝23であり、Ｍ＝2003のときＡ＝20、Ｂ＝３である。ＭがＡとＢの積ＡＢの倍数であるとき、すなわち、Ｍが整数ｍを用いてＭ＝ｍＡＢと表されているとき、次の問いに答えよ。
（１）
ＢがＡの倍数であることを文字式を用いて説明せよ。
（２）
（１）から、Ｂを整数ｎを用いてＢ＝ｎＡと表したとき、
ｎが100の約数であることを文字式を用いて説明せよ。
（３）
Ａ、Ｂの値の組（Ａ、Ｂ）をすべて求めよ。
＠解説＠
（１）
『ＢがＡの倍数である』→Ｂ＝Ａ（ ）の形にもっていく。
ＡとＢの関係式をつくる。
仮定より、M＝ｍＡＢ …①
ＭをＡとＢを使って別の方法で表す。
Ａが百の位以上であることに注目して、Ｍ＝100Ａ＋Ｂ …②
①、②より、100Ａ＋Ｂ＝ｍＡＢ
Ｂ＝ｍＡＢ－100Ａ
＝Ａ（ｍＢ－100）
ｍとＢは整数→ｍＢ－100は整数なので、ＢはＡの倍数である。
（２）
『ｎが100の約数である』→ｎ（ ）＝100の形に持っていく。
（*ｎをカッコ内の数字でかけると100→100はｎで割り切れる）
前問で導いた式にＢ＝ｎＡを代入すると、
ｎＡ＝Ａ（ｍｎＡ－100）
両辺をＡで割る。
文字で割る場合、０で割れない点に配慮すること！
Ａは２桁の正の整数でＡ≠０だから、Ａで割ることが許される。
ｎ＝ｍｎＡ－100
ｍｎＡ－ｎ＝100
ｎ（ｍＡ－１）＝100
ｍとＡは整数→ｍＡ－１は整数だから、ｎは100の約数である。
（３）
前問の答えを活用する。
100の約数→１、２、４、５、10、20、25、50、100
ｎ（ｍＡ－１）＝100からｍＡ－１も100の約数なので、
ｍＡ＝２、３、５、６、11、21、26、51、101
Ａは正の２桁の整数→ｍＡの値は１桁ではない→２、３、５、６は×。
101は素数で１×101しかないから×！
ｍＡ＝11、21、26、51
（ｍ×Ａ）＝（１×11）（１×21）（１×26）（２×13）（１×51）（３×17）
（１）のＢ＝Ａ（ｍＢ－100）に代入して、（Ａ、Ｂ）の組み合わせを絞る。
ＭはＡとＢの数を並べた４桁の正の整数だから、ＡとＢはともに正の整数である。
もし、ｍ＝１のとき、Ｂ＝Ａ（Ｂ－100）
Ｂは２桁以下の整数なのでカッコ内は負、Ａは正→Ｂ＝正×負＝負となって不適。
ｍ≠１
（ｍ、Ａ）＝（２、13）（３、17）しかない。
●（ｍ、Ａ）＝（２、13）
Ｂ＝13（２Ｂ－100）
Ｂ＝52
●（ｍ、Ａ）＝（３、17）
Ｂ＝17（３Ｂ－100）
Ｂ＝34
（Ａ、Ｂ）＝（17、34）（13、52）
＠＠＠
中学では算数バージョンで出題されています。
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