2023年度　東京工業大学附属科学技術高等学校過去問【数学】大問４解説

問題ＰＤＦ
ＯＡ＝１ｃｍ、ＯＢ＝２ｃｍ、∠ＡＯＢ＝120°の△ＯＡＢがある。図のように、△ＯＡＢを点Ｏを中心として時計回りに60°だけ回転移動させたものを△ＯＣＤとする。辺ＡＢとＯＣの交点をＰ、ＡＢとＣＤの交点をＱ、ＯＢとＣＤの交点をＲとするとき、次の問いに答えなさい。

（１）
線分ＯＲの長さを求めなさい。

（２）
線分ＡＱとＱＢの長さの比ＡＱ：ＱＢをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

（３）
線分ＡＰとＱＲの長さの比ＡＰ：ＱＲをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

＠解説＠
（１）

∠ＲＯＤ＝180－120＝60°
60°の回転移動→∠ＡＯＣ＝60°
ＡＣに補助線。
ＯＡ＝ＯＣ＝１ｃｍ→△ＡＯＣは頂角60°の二等辺三角形→正三角形
∠ＣＡＯ＝60°、ＣＡ＝１ｃｍ

∠ＣＡＯ＝∠ＲＯＤ＝60°で同位角が等しい→ＡＣ//ＯＲ
回転移動から、ＯＢ＝ＯＤ＝２ｃｍ
△ＡＤＣ∽△ＯＤＲより、ＯＲ＝１×２/３＝２/３ｃｍ

（２）

ＢＲ＝２－２/３＝４/３ｃｍ
△ＡＣＱ∽△ＢＲＱより、ＡＱ：ＱＢ＝ＡＣ：ＢＲ＝１：４/３＝３：４

（３）

前問の△ＡＣＱ∽△ＢＲＱより、ＣＱ：ＱＲ＝③：④
ＡＰを〇で示せないか。
△ＡＤＣ∽△ＯＤＲから、ＣＲ：ＲＤ＝１：２→ＲＤ＝⑦×２＝⑭

∠ＲＯＤ＝∠ＰＣＡ＝60°
回転移動と錯角から、∠ＲＤＯ＝∠ＱＢＲ＝∠ＰＡＣ（●）
２角相等で、△ＲＯＤ∽△ＰＣＡ
ＤＲ：ＡＰ＝ＯＤ：ＣＡ＝２：１だから、ＡＰ＝⑭÷２＝⑦
ＡＰ：ＱＲ＝７：４