問題ＰＤＦ
３本の柱Ａ、Ｂ、Ｃと、その円板の半径の長さを表す数がついた、中央に穴が空いた円板がいくつかあります。
この円板を次のルールに従って移動させます。
＜ルール＞
ア、円板は１回の動作につき上から１つだけ別の柱に動かせます。
イ、柱以外に円板を置いてはいけません。
ウ、小さい円板の上に大きい円板を乗せてはいけません。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）
下の図のようにＡの柱に上から順に１、２、３の円板があるとき、
この３枚の円板すべてをＡからＣに移すためには、最も少なくて何回の動作が必要ですか。
（２）
Ａの柱に上から順に１、２、３、４の円板があるとき、
この４枚の円板すべてをＡからＣに移すためには、最も少なくて何回の動作が必要ですか。
（３）
Ａの柱に上から順に１、２、３、４、５、６、７、８の円板があるとき、
この８枚の円板すべてをＡからＣに移すためには、最も少なくて何回の動作が必要ですか。
＠解説＠
（１）
まず、１・２を真ん中において、３を右に持ってくる。
７回
（２）
１・２・３を真ん中において、４を右に持ってくる。
15回
（３）
さすがに８個を自力で調べるのは厳しい‥。
前問の解答に目を向ける。
２個の場合、１回目で真ん中に１→２回目で右に２→３回目で完成。
３個の場合、３回目で真ん中に１・２→４回目で右に３→７回目で完成。
４個の場合、７回目で真ん中に１・２・３→８回目で右に４→15回目で完成。
（一番大きい円板以外を移動）→（一番大きい円板を移動）→（一番大きい円板以外を移動）
【前の個数の回数＋１＋前の個数の回数】
５個の場合、15回目で真ん中に１～４→16回目で右に５→31回目で完成。
６個の場合、31回目で真ん中に１～５→32回目で右に６→63回目で完成。
７個の場合、63＋１＋63＝127回
８個の場合、127×２＋１＝255回
＠余談＠
高校２年生で習う漸化式を使うと一般化できます。
【ｎ個の場合、２ｎ－１回】（２ｎ…２のｎ乗、２をｎ回かけた数）
８個では、２８－１＝255回
９個では、２９－１＝511回
中学生レベルでは以下のように考えるといいです。
円板がｎ枚ある場合、一番大きい円板を右に移動したのは何回目かに着目します。
ｎ＝１のとき、１回目
ｎ＝２のとき、２回目
ｎ＝３のとき、４回目
ｎ＝４のとき、８回目
ちょうど２の累乗で、ｎ枚の場合は２ｎ-１回目で一番大きい円板を移動できます。
これは作業のちょうど半分で、（２ｎ-１－１）を足せばいいから、
２ｎ-１＋（２ｎ-１－１）＝２ｎ－１
（*２をｎ－１回かけた数を２倍＝２をｎ回かけた数）
アマゾンより。伝統的な知育玩具・ハノイの塔。
ベトナムの首都ハノイとは関係ないそうです。
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