問題ＰＤＦ
（１）
上の（図１）のように、長さ16ｃｍのえんぴつＡＢが机の上にあり、
ＡＢの真ん中の点をＭとします。また、ＭＯ＝６ｃｍのところに点Ｏがあり、
ＡＢとＭＯは垂直です。このえんぴつを、点Ｏのまわりに机の上で１回転させたとき、
えんぴつが通ってできる図形の面積は何ｃｍ2ですか。
ただし、えんぴつの太さは考えないものとします。
以下、長方形の対角線の交点を、長方形の中心と呼ぶことにします。
（２）
上の（図２）のように、縦12ｃｍ、横16ｃｍ、わくのはば１ｃｍの長方形の額ぶちが
机の上にあります。この額ぶちを、額ぶちの中心Ｏのまわりに机の上で１回転させたとき、
わくが通ってできる図形の面積は何ｃｍ2ですか。
（３）
上の（図３）のように、厚さ１ｃｍの長方形の板を６枚組み合わせて作った、
中身が空どうの箱が机の上にあります。この箱を、上下の面の中心を通る直線を
回転の軸として机の上で１回転させたとき、
この箱の板の部分が通ってできる立体の体積は何ｃｍ3ですか。
＠解説＠
（１）
ＡＯに補助線をいれると、辺の比が３：４：５の直角三角形があらわれる。
中心Ｏから最短は６ｃｍ、最長は10ｃｍ。
回転体は内径６ｃｍ、外径10ｃｍのドーナツである。
（10×10－６×６）×3.14
＝200.96ｃｍ2
（２）
１ｃｍの幅を考慮する。
外側の線は（１）で求めたエンピツと同じ。本問では中側の線が追加される。
額縁の上部において、中心Ｏから最短は５ｃｍ、最長は10ｃｍ。
今度は枠の左部を調べてみると、最長は10ｃｍで同じだが、最短は７ｃｍである。
上部；５～10ｃｍ、左部：７～10ｃｍ⇒範囲は５～10ｃｍ
額物の回転体は内径５ｃｍ、外径10ｃｍの回転体である。
（10×10－５×５）×3.14
＝235.5ｃｍ2
＠余談＠
仮に上下の枠の幅を３ｃｍに厚くしてみる。（左右の枠幅は４ｃｍ）
すると、（１）より外側は内径６ｃｍ～外径10ｃｍのドーナツ。
中側は内径３ｃｍ～外側５ｃｍのドーナツ。
このように２つのドーナツがかぶらない場合、
半径５ｃｍより長く、６ｃｍより短いエリアは空洞になるのでは？
と思った人がいるかもしれないが、Ｏから5.5ｃｍのところ（★）は枠の中である。
結局、中の最短（最小値）～外の最長（最大値）を調べればいい。
（３）
中８ｃｍは（２）と同じ底面積。
上下１ｃｍずつは長方形の回転、すなわち、Ｏから最長10ｃｍを半径とする円である。
235.5×８＋10×10×3.14×２
＝1884＋628
＝2512ｃｍ3
難関中（算数科）解説ページに戻る
コメント