2025年度　嵯峨野高校（こすもす科）過去問【数学】大問５解説

問題ＰＤＦ
ｎは３桁の正の整数とする。ｎを繰り返し２つ並べた６桁の整数をｆ(ｎ)と定める。
例えば、ｆ(123)＝123123である。このとき、次の問いに答えよ。

（１）
ｎ+14を７で割ったとき、余りとしてとりうる値で最も大きいものを求めよ。

（２）
ｆ(ｎ)をｎの式で表せ。

（３）
ｆ(ｎ)＋11を７で割ったとき、余りとしてとりうる値で最も大きいものを求めよ。

（４）
｛ｆ(ｎ)＋14｝^２を11で割ったとき、余りとしてとりうる値で最も大きいものを求めよ。

（２）

下３桁がｎ、上３桁が1000ｎ
合計して、ｆ(ｎ)＝1001ｎ

（３）
1001を素因数分解すると、1001＝７×11×13
（*数学界では有名な分解）
ｆ(ｎ)＋11
＝1001ｎ+11　←11＝７＋４に分ける
＝７（143ｎ＋１）＋４
７（143ｎ＋１）が７の倍数だから、余りは４

（４）
｛ｆ(ｎ)＋14｝²
＝（1001ｎ＋14）²　←14＝11＋３に分ける
＝｛11（91ｎ＋１）＋３｝²　←この時点で９とわかるが続行。Ａ＝91ｎ＋１とする
＝（11Ａ＋３）²
＝121Ａ²＋66Ａ＋９
＝11Ａ（11Ａ＋６）＋９
下線部が11の倍数だから、余りは９