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下の図のように、半径12cm、中心角90°のおうぎ形OPQの内部に、
一辺が4cmの正方形OABCがあります。このとき、次の問いに答えなさい。
(1)
図中の斜線部分の面積を求めなさい。
(2)
OP上に点Mをとり、MP、MQと曲線PQで囲まれた図形の面積が(1)で求めた面積と等しくなるときのPMの長さを求めなさい。
@解説@
(1)
全体から3ヶ所をひく。
12×12×3.14÷4-4×4-4×8÷2×2
=113.04-48=65.04cm2
(2)
MQとPBの交点をRとする。
P・B・Qに囲まれたところと、P・M・Qに囲まれたところが等しいということは、
P・R・Qに囲まれたところを除いた△PMRと△QBRが等しい。
△PMRと△QBRに四角形MCBRを足すと、
△PCBと四角形MCBQの面積も等しい。
△PCBは16cm2なので、四角形MCBQも16cm2
△MOQ=正方形OABC+△AQB+四角形MCBQ
=16×3=48cm2
OM=48×2÷12=8cm
PM=12-8=4cm
@別解@
Bを通る、PQに平行な線をひく。
等積変形から、△BPQ=△MPQ
△OPQは直角二等辺で、OBは∠POQの二等分線(正方形の対角線だから)。
ここから、OBとPQとの平行線は直角に交わる。
△OBMも直角二等辺、△BCMも直角二等辺。
MC=BC=4cmなので、PM=4cmとなる。
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