2018年度 江戸川取手中学過去問【算数】大問3解説

下の図のように、半径12cm、中心角90°のおうぎ形OPQの内部に、
一辺が4cmの正方形OABCがあります。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
図中の斜線部分の面積を求めなさい。

(2)
OP上に点Mをとり、MP,MQと曲線PQで囲まれた図形の面積が(1)で求めた面積と等しくなるときのPMの長さを求めなさい。


@解説@
(1)

全体から3ヶ所をひく。
12×12×3.14÷4-4×4-4×8÷2×2
=113.04-48=65.04cm2

(P2)

P・B・Qに囲まれたところと、P・M・Qに囲まれたところが等しいということは、
P・O・Qに囲まれたところを除いた△PMOと△QBOが等しい

また、△PMOと△QBO
に四角形MCBOを足すと、
△PCBと四角形MCBQの面積も等しくなる。
△PCBは16cm2なので、四角形MCBQも16cm2
△MOQ=正方形OABC+△AQB+四角形MCBQ
=16×3=48cm2
OM=48×2÷12=8cm
PM=12-8=4cm

@別解@

Bを通る、PQに平行な線をひく。
等積変形から、△BPQ=△MPQ
△OPQは直角二等辺で、OBは∠POQの二等分線(正方形の対角線だから)。
ここから、OBとPQとの平行線は直角に交わる
△OBMも直角二等辺、△BCMも直角二等辺。
MC=BC=4cmなので、PM=4cmとなる。
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