2024年度　駒場東邦中学過去問【算数】大問４解説

問題ＰＤＦ
同じ整数を２回かけてできる数を平方数といいます。
平方数を次のように〇を用いて表すことにします。
例えば、45×45＝2025ですから、2025は45の平方数であり、これを2025＝㊺と表します。

（１）
〔　　〕にあてはまる数を答えなさい。
　１から５までの連続する整数の平方数の和①＋②＋③＋④＋⑤を、
次のような考え方で計算します。

　①＋②＋③＋④＋⑤
＝１×１＋２×２＋３×３＋４×４＋５×５
＝１＋（２＋２）＋（３＋３＋３）＋（４＋４＋４＋４）＋（５＋５＋５＋５＋５）

＋で結ばれている15個の数を図１のように並べます。これらの数を、120°反時計回りに回転させた位置（図２）と時計回りに回転させた位置（図３）に並べます。

　３つの図において、同じ位置にある３個の数をたすと、どの位置でも〔　ア　〕になります。このことを利用して①＋②＋③＋④＋⑤を計算すると、〔　イ　〕になります。
　同じように考えて、１から11までの連続する整数の平方数の和
①＋②＋‥‥‥＋⑪を計算すると〔　ウ　〕になります。

（２）
2024は２から連続する偶数の平方数の和で表すことができます。
その表し方を、〇を用いて答えなさい。ただし、途中を「‥‥‥」で省略してもかまいません。

（３）
３から連続する３の倍数の平方数の和で表すことができる５けたの整数のうち、
最も大きいものを求めなさい。

＠解説＠
（１）

３つの三角形を合わせると、すべて11の三角形になる。
たとえば、上の頂点だと１＋５＋５＝11
３段目の真んでは、３＋４＋４＝11

11の個数は１～５の和で（１＋５）×５÷２＝15個
11の三角形は３つの三角形の和、求めたいのは三角形１つ分だから、
11×15÷３＝55

３つの三角形を合わせると、すべて23になる。
23の個数は１～11までの和→（11＋１）×11÷２＝66個
23×66÷３＝506

（２）
偶数の平方数だけを抜き出す。
（２×２）＋（４×４×４×４）＋（６×６×６×６×６×６）＋…＝2024
前問のような三角形をつくることを考える。

数列の個数を１＋２＋３＋…と三角数に置き換えるために数列を半分に分ける。
（２×２）＋（４×４×４×４）＋（６×６×６×６×６×６）＋…
２×（１×１）＋２×（２×２×２×２）＋２×（３×３×３×３×３×３）…＝2024

さらに÷２すると、（１）の考え方が使える。
三角形の和が506となるのは何段目かを調べればいいが、
先ほど（ウ）で①＋②＋‥‥＋⑪＝506だったから11段である。
２倍して戻すと、②＋④＋‥‥＋㉒

（３）

３の倍数なので三角形を３個つくる。
１個の三角形の和が33333以下、これを÷３した三角形の和が11111以下になればいい。
ここからどうするか。。

平方数を足していく作業を図形に置き換えてみる。
１段目…１×１、２段目…２×２、３段目…３×３とブロックを積み重ねると全体は四角錘になる。
錘の３倍が柱。すなわち、立方体が約33333以下になればいい。
30×30×30＝27000だから30ちょっと上。
試しに32で計算してみると、
（１＋32＋32）×｛（１＋32）×32÷２｝÷３＝11440　←11111over！
31に下げる。11440－32×32＝10416　←OK！
３倍して３の倍数の三角形に戻し、さらに３倍する。
10416×９＝93744
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