2024年度 駒場東邦中学過去問【算数】大問4解説

問題PDF
同じ整数を2回かけてできる数を平方数といいます。

平方数を次のように〇を用いて表すことにします。
例えば、45×45=2025ですから、2025は45の平方数であり、これを2025=㊺と表します。

(1)
〔  〕にあてはまる数を答えなさい。
 1から5までの連続する整数の平方数の和①+②+③+④+⑤を、
次のような考え方で計算します。

 ①+②+③+④+⑤
=1×1+2×2+3×3+4×4+5×5
=1+(2+2)+(3+3+3)+(4+4+4+4)+(5+5+5+5+5)

+で結ばれている15個の数を図1のように並べます。これらの数を、120°反時計回りに回転させた位置(図2)と時計回りに回転させた位置(図3)に並べます。

 3つの図において、同じ位置にある3個の数をたすと、どの位置でも〔 ア 〕になります。このことを利用して①+②+③+④+⑤を計算すると、〔 イ 〕になります。
 同じように考えて、1から11までの連続する整数の平方数の和
①+②+‥‥‥+⑪を計算すると〔 ウ 〕になります。

(2)
2024は2から連続する偶数の平方数の和で表すことができます。
その表し方を、〇を用いて答えなさい。ただし、途中を「‥‥‥」で省略してもかまいません。

3)
3から連続する3の倍数の平方数の和で表すことができる5けたの整数のうち、
最も大きいものを求めなさい。


@解説@
(1)

3つの三角形を合わせると、すべて11の三角形になる。
たとえば、上の頂点だと1+5+5=11
3段目の真んでは、3+4+4=11
11の個数は1~5の和で(1+5)×5÷2=15個
11の三角形は3つの三角形の和、求めたいのは三角形1つ分だから、
11×15÷3=55

3つの三角形を合わせると、すべて23になる。
23の個数は1~11までの和→(11+1)×11÷2=66個
23×66÷3=506
ア…11、イ…55、ウ…506

(2)
偶数の平方数だけを抜き出す。
(2×2)+(4×4×4×4)+(6×6×6×6×6×6)+…=2024
前問のような三角形をつくることを考える

数列の個数を1+2+3+…と三角数に置き換えるために数列を半分に分ける
(2×2)+(4×4×4×4)+(6×6×6×6×6×6)+…
2×(1×1)+2×(2×2×2×2)+2×(3×3×3×3×3×3)…=2024

さらに÷2すると、(1)の考え方が使える。
三角形の和が506となるのは何段目
かを調べればいいが、
先ほど(ウ)で①+②+‥‥+⑪=506だったから11段である。
2倍して戻すと、②+④+‥‥+㉒

(3)

3の倍数なので三角形を3個つくる。
1個の三角形の和が33333以下、これを÷3した三角形の和が11111以下になればいい
ここからどうするか。。

平方数を足していく作業を図形に置き換えてみる。
1段目…1×1、2段目…2×2、3段目…3×3とブロックを積み重ねると全体は四角錘になる
錘の3倍が柱。すなわち、立方体が約33333以下になればいい。
30×30×30=27000だから30ちょっと上
試しに32で計算してみると、
(1+32+32)×{(1+32)×32÷2}÷3=11440 ←11111over!
31に下げる。11440-32×32=10416 ←OK!
3倍して3の倍数の三角形に戻し、さらに3倍する。
10416×9=93744
難関中(算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメント

タイトルとURLをコピーしました