2023年度 ラ・サール中学過去問【算数】大問5解説

問題PDF
下の図において、四角形ABCD、四角形BEFC、四角形AEFDはすべて平行四辺形です。

CP:PD=6:7、PQ:QE=2:1、三角形CQPの面積が36cm2のとき、次を求めなさい。

(1)三角形QEFの面積
(2)三角形APDの面積
(3)五角形ABEFDの面積


@解説@
(1)

与えられた辺の比から、新たにわかる面積比を探す。
DQに補助線
CP:PD=△CQP:△PQD=
△PQD=36×/=42cm2
AEとDFは平行。
△PQDと△QEFの高さは等しいので、面積比は底辺の比PQ:QE=
△QEF=42×/=21cm2

(2)

PQとDFが平行→△CQPと△CFDは相似
PQ:DF=
QE=÷2=

平行四辺形の対辺は等しいから、AE=
AP=-()=
△QEF:△APD=QE:AP=
なので、
△APDの面積は、21×/=28cm2

(3)

線分EFを赤線方向に平行移動させると、その軌跡は平行四辺形AEFD、
同じ高さの分だけ青線方向に平行移動させると平行四辺形ABCDとBEFCになる。
くの字に曲がった青線を左から押し込むと赤線になり、両者の面積は等しい

ということは、重複する△APDと△QEFを除外した部分、
すなわち、上図の青線エリア赤線エリアは等積である。(

前問で使った△CQPと△CFDの相似に着目すると、
面積比は△CQP:△CFD=⑥×⑥:⑬×⑬=【36】:【169】
ちょうど△CQP=36cm2なので、△CFD=169cm2である
=169-36=133cm2
五角形ABEFDの面積は、133×2+28+36+21=351cm2
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