問題ＰＤＦ
下の図において、四角形ＡＢＣＤ、四角形ＢＥＦＣ、四角形ＡＥＦＤはすべて平行四辺形です。
ＣＰ：ＰＤ＝６：７、ＰＱ：ＱＥ＝２：１、三角形ＣＱＰの面積が36ｃｍ2のとき、次を求めなさい。
（１）三角形ＱＥＦの面積
（２）三角形ＡＰＤの面積
（３）五角形ＡＢＥＦＤの面積
＠解説＠
（１）
与えられた辺の比から、新たにわかる面積比を探す。
ＤＱに補助線。
ＣＰ：ＰＤ＝△ＣＱＰ：△ＰＱＤ＝⑥：⑦
△ＰＱＤ＝36×⑦/⑥＝42ｃｍ2
ＡＥとＤＦは平行。
△ＰＱＤと△ＱＥＦの高さは等しいので、面積比は底辺の比ＰＱ：ＱＥ＝②：①。
△ＱＥＦ＝42×①/②＝21ｃｍ2
（２）
ＰＱとＤＦが平行→△ＣＱＰと△ＣＦＤは相似。
ＰＱ：ＤＦ＝⑥：⑬
ＱＥ＝⑥÷２＝③
平行四辺形の対辺は等しいから、ＡＥ＝⑬
ＡＰ＝⑬－（⑥＋③）＝④
△ＱＥＦ：△ＡＰＤ＝ＱＥ：ＡＰ＝③：④なので、
△ＡＰＤの面積は、21×④/③＝28ｃｍ2
（３）
線分ＥＦを赤線方向に平行移動させると、その軌跡は平行四辺形ＡＥＦＤ、
同じ高さの分だけ青線方向に平行移動させると平行四辺形ＡＢＣＤとＢＥＦＣになる。
くの字に曲がった青線を左から押し込むと赤線になり、両者の面積は等しい。
ということは、重複する△ＡＰＤと△ＱＥＦを除外した部分、
すなわち、上図の青線エリアと赤線エリアは等積である。（★）
前問で使った△ＣＱＰと△ＣＦＤの相似に着目すると、
面積比は△ＣＱＰ：△ＣＦＤ＝⑥×⑥：⑬×⑬＝【36】：【169】
ちょうど△ＣＱＰ＝36ｃｍ2なので、△ＣＦＤ＝169ｃｍ2である。
★＝169－36＝133ｃｍ2
五角形ＡＢＥＦＤの面積は、133×２＋28＋36＋21＝351ｃｍ2
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