2017年度 群馬県公立高校入試【数学】解説

最後以外は基本~標準。
記述でどこまで説明すべきか、判断がやや難しいところがある。
ラストは図形のセンスが問われる。
問題はコチラから→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
①3-(-4)=3+4=7
②√6÷√2=√3
③(2x-y)/3-(3x+2y)/6
={2(2x-y)-(3x+2y)/6
=(4x-2y-3x-2y)/6
=(x-4y)/6

(2)
絶対値=数直線上で原点0からの距離。
0も整数ですよ!自然数ではないが。
-2、-1、0、1、2

(3)
(a-3)2=a2-6a+9

(4)
2-25=(x+5)(x-5)

(5)
7.25以上7.35未満。7.35は含まないよ!
7.25≦a<7.35

(6)
奇数+偶数=奇数
3通り×2通り=6通り。調べてもできる。
全・・32=10通り  6/10=3/5

(7)
一次関数の一般式y=ax+bに代入→連立
a=-3、b=2 →y=-3x+2

(8)
一応、頂点は対応する順番で書いておこう。
(△ACM≡)△BDM
(使った合同条件)2組の辺とその間の角が等しい。

大問2(関数)

(1)1m
*y=1/4x2にx=2を代入するだけ。

(2)
振り子の等時性に関する記述。公式解答参照
*yに1/4を代入してxを求める。
x=1
1往復にかかる時間はB1秒、A2秒なので、
Aが1往復する間にBは2往復する。
最後の部分まで丁寧に記述する。

大問3(整数)

(1)4
*右上すみは平方数になっている。

(2)(n+1)2
(n番目+1)の2乗

(3)n=8
ここも記述。
前問より、右上は(n+1)2
左下はn2の次だからn2+1
これらを合計して2次方程式へ。
(n+1)2+(n+1)=146
n>0より、n=8→8番目

大問4(作図)

(1)公式解答参照
*ABの垂直二等分線とBCの垂直二等分線の交点がOとなる。
もちろん、ACの垂直二等分線でも良い。3本のうち2本を選ぶ。
Oを中心にいずれかの点までを半径としてグルっと1周すれば、
△ABCの外接円ができる。

(2)前問の作図方法の仕組みを説明する。
公式解答をみると、垂直二等分線上にある→2点からの距離が等しいとしたうえで、
AO=BO、BO=COから、AO=BO=COとしている。
なぜ垂直二等分線上の点は2点からの距離が等しくなるかについての説明は不要。
合同図形からでも説明できる。
ABの中点をM、BCの中点をNとし、
△AOM≡△BOM、△OBN≡△OCN。あとは対応する辺から同じ。
いずれにせよ、どこまで言及すべきかわからず、書きにくさはある。



大問5(図形の証明)

ア・・90  イ・・AE  ウ・・AH
(証明の続き)
同じ長さに対する円周角は等しいので、
∠AEH=∠BHE
錯角が等しいので
EA//BH
*前半は誘導に従い、証明の続きを完成させる。千葉と同じ。
ア:弧ABと弧EHがともに円周の4分の1であるから、中心角は90°となる。
イウ:同じ長さの弧から、共通する間の弧をひけば残りの弧の長さも等しくなる。
平行の証明は、同位角か錯角が等しいことを指摘すればいい
円周の長さが等しい=円周角が等しい。ここから錯角が等しい→平行となる。

大問6(相似)

(1)3cm
*△OBC内で中点連結定理。BC:PQ=2:1

(2)①5:1  ②5+2√33cm
*①△APOと△APBで三平方の定理。AP2で等式を作る。
OP=xとおく。PB=6√3-x
(6√3)2-x2=62-(6√3-x)2
12√3x=180
x=5√3  OP=5√3cm
PB=6√3-5√3=√3cm
したがって、OP:PB=5√3:√3=5:1
②前問の流れから△APB内で三平方。
AP=√{62-(√3)2}=√33cm
同様に、QD=√33cm
PQは前問の比から、△OBC∽△OPG
PQ:BC=5:6。よって、PQ=5cm
AD=AP+PQ+QD=5+2√33cm

(3)16cm
*やや難。
本問は角度の情報が与えられておらず、三平方が使えない。
とりあえず、展開図を書いて何が使えるか、図形とにらめっこする。
すると、△ABPが二等辺三角形のような気がしてくる
視点を隣の二等辺三角形OBCに向けてみよう。

等しい角度に印をつけみてる。
△OABは二等辺三角形。正四角錘なので△OBCと合同である。
ここでADとBCは平行になる
五角形OABCDは合同な3つの二等辺三角形を3つ並べた図形で線対称の図形である。
糸を最短経路で巻きつけたということはBDは一直線
BCと平行でなければADは傾いてしまい、
左右対称にはならないからAD//BCとなる。
数学的にいえばAとD、BとCは対応する点なので、ADとBCが対称の軸と直角で交わる。
→同位角が等しい→平行

AD//BCであるから、錯角から∠PBC(青い○つけ忘れたところ)=∠APB
2角が等しいことから△OAB∽△APBとなる。
△APBも二等辺三角形なので、AP=6cm(QD=6cm)
残るPQは前問のように△OBC∽△OPG
辺の比から、6√3:6=6:BP
BP=2√3cm、OP=6√3-2√3=4√3cm
OB:OP=6√3:4√3=3:2
△OBC∽△OPGから、PQ=6×2/3=4cm
AD=AP+PQ+QD=6+4+6=16cm

@別解@
2角が等しいことから△OAB∽△APBとなる。
↑ここの説明ですが、二等辺三角形の2つの底角以外でも説明できます。
合同な3つの二等辺三角形なので、OA=OB=OC=OD
ということは、4点ABCDはOAを半径とする円の円周上にあります
弧BDに対する中心角∠BOD=○○
弧BDに対する円周角は∠BADとなり、円周角の定理から○1個分です。
すなわち、二等辺三角形の頂角である∠AOBと∠BAPが等しくなります。
あとは共通角である∠OBAをもってくれば、2角を指摘できますね。
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