2021年度 徳島県公立高校入試過去問【数学】解説

平均46.9点(前年比;+0.9点)
問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の除外は標本調査。

大問1(小問集合)

(1)
12÷(-4)
=-3

(2)
√3×√8
=√24=2√6

(3)
(x-4)(x-5)
=x2-9x+20

(4)
2-5x+3=0
解の公式を適用して、
x=(5±√13)/2

(5)
1桁の偶数は2・4・6・8の4枚。
♦♥♣♠に4枚ずつあるから、4×4=16枚
確率は、16/52=4/13

(6)
3~6冊の度数は、30-(7+5+3+2+1)=12冊
12÷30=12/30=4/10=0.4

(7)

内角を求めるので、内角で攻めた方が良い。
五角形の内角の和は540°
(*n角形の和は180(n-2)°
540-(110+100+110+105)
=540-425=115°

(8)
y=5/2x+aに、(x、y)=(4、3)を代入。
3=5/2×4+a
a=-7
y軸との交点⇒切片は(0、-7)

(9)

四角錘の高さは、√(72-32)=2√10cm
体積は、6×6×2√10÷3=24√10cm3

(10)
336を素因数分解。
336=24×3×7
336をnで割ったとき、残った素因数が偶数個になれば平方数になる。
2の素因数は4つあるが、3と7は1つずつしかない。
3×7=21で336を割れば、商は24=42=16(平方数)になる。
21

大問2(方程式)

(1)
みきさんは玉ねぎをx袋、じゃがいもをy袋とした。
袋の数で等式。
x+y=91
売上金額の合計で等式。
190x+245y=19380

ゆうさんは玉ねぎをx個、じゃがいもをy個とした。
袋の数で等式。
袋の数は、(野菜の総数)÷(1袋あたりの野菜の個数)
x/3+y/6=91
売上金額の合計で等式。
それぞれの袋の数に190円と245円をかければいい。
190/3x+245/6y=19380

ア…x+y イ…190x+245y
ウ…x/3+y/6、エ…190/3x+245/6y

(2)
前問の連立を解く。
以下、みきの方法。
x+y=91 …①
190x+245y=19380 …②

②-①×190をすると、55y=2090
y=38
①に代入、x=53

袋の数であることに注意!
玉ねぎが53袋、じゃがいもが38袋だから、
玉ねぎは、3×53=159個
じゃがいもは、6×38=228個
玉ねぎ…159個、じゃがいも…228個


大問3(場合の数&平面図形)

(1)
Aの順番で場合分け。

◆Aが1番目の
とき、Bはどこでも良い。
残り3つは順列の考えで、3×2×1=6通り
◆Aが2番目のとき、1番目を先に決めるとCかDの2通り。
2×2×1=4通り
◆Aが3番目のとき、4番目はBが確定。
残り2つは、2×1=2通り
◆Aが4番目は無い。
計12通り。

(2)a
24×2×π×1/3=16πcm


扇形の半径しかわかっていない。
そこで、長方形の辺の長さに相当する線分のうち、扇形に関わるところを探す。

EH=BA
120°を活用する。
扇形の中心OからBAにむけて垂線をひき、交点をIとすると、
図形全体が左右対称ゆえ、∠IOA=120÷2=60°
△OIAの内角は30°—60°—90°で、辺の比が1:2:√3の直角三角形!
IA=24×√3/2=12√3cm
IはBAの中点だから、
EH=12√3×2=24√3cm

上の図のように記号をつけると、EFの長さはJKにあたる。
IA//KCより、△OKCの辺の比も1:2:√3
OK=12÷2=6cm
OJは扇形の半径で24cmだから、EF=24-6=18cm
EF…18cm、FG…24√3cm

大問4(関数)

(1)a
y=1/2x2にx=-4を代入。
y=1/2×(-4)2=8



y=x+12をx軸について線対称⇒y=-x-12
(*y軸について線対称だとy=-x+12)

(2)a

y=1/2x2にx=2を代入して、P(2、2)
Qのy座標が2だから、これをy=x+12に代入して、Q(-10、2)

長方形を2等分すると、点対称の関係にある2つの台形ができる
2等分する直線とQPの交点をTとする。
SO=10、OR=2だから、QT=2、TP=10
(一方の台形は上底2下底10、他方の台形は上底10下底2で等積)
TからOは右に8、下に2ゆえ、傾きは-2/8=-1/4
y=-1/4x



お決まりの手口。座標を文字で表して方程式に持ち込む。
放物線上にあるPのx座標をtとすると、P(t、-1/2t2)R(t、0)
Qのy座標が1/2t2だから、これをy=x+12のyに代入して、Q(1/2t2-12、1/2t2

正方形は縦と横が同じ長さ。
PQ=t-(1/2t2-12)=-1/2t2+t+12
PR=1/2t2
-1/2t2+t+12=1/2t2 ←左辺をすべて右辺に移項して左右ひっくり返す。
2-t-12=(t+3)(t-4)0
t=-3、4

PR=1/2t2だから、
Pのx座標が-3のとき、PR=1/2×(-3)2=9/2
Pのx座標が4のとき、PR=1/2×42=8
9/2、8


大問5(平面図形)

(1)

△DEFで外角定理。
∠DEF=∠DEG=a-90°

(2)
△ABD∽△DEBの証明。

すぐ見える。
直角+AD//BEの錯角→2角相等で∽。

(3)

△ADBで三平方→BD=2√5cm
前問の相似を活用。
△ABD∽△DEBより、BE=2√5×2√5/4=5cm
BC=4cmだから、CE=1cm

つづいて、△ABE∽△GCEより、GC=1×2/5=2/5cm
DG=2-2/5=8/5cm

△ABEで三平方→AE=√29cm
×=90°、対頂角でを∠DGHに移すと、∠GDH=×
2角相等で△ABE∽△GHDがいえる。
DH=8/5×5/√29=8√29/29cm

(4)

DG=8/5cmが既出なので、△BDCから△FDGを引く
△ABF∽△GDFより、AF:FG=2:8/5=
△ADF:△FDGの面積比も5:4だから、
〔△ADG⇒△FDG〕で△FDGの面積は、4×8/5÷2×4/9=64/45cm2
四角形BCGFの面積は、2×4÷2-64/45=116/45cm2


大問1
ここだけで配点が40点もある!
(9)見えなかったら立体図を書こう。
(10)割り算をすると、素因数が消える。
大問2
2つのパターンを求める連立方程式は他県でも出てくる。
慣れていない方法でも立式できるようにしておきたい。
大問3
(1)樹形図で調べてもい良い。
(2)b扇形と長方形が関わる線分に狙いをつける。
大問4
(1)平行四辺形を2等分する直線は対角線の交点を通り、
上底と下底の和が等しく、2つの台形が点対称。
大問5
(1)∠DEG=∠DEFから、△DEFに目をつける。
(3)図はシンプルだが意外と数値が汚かった。三平方と相似で乗り切る。
解説では△GHDと相似関係にあたる三角形を探していった。
(4)△BDCが長方形の半分でサクッと求まることから、
これから△FDGを引けばいい。
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