2021年度　徳島県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均46.9点（前年比；＋0.9点）
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出題範囲の除外は標本調査。

大問１（小問集合）

（１）
12÷（－４）
＝－３

（２）
√３×√８
＝√24＝２√６

（３）
（ｘ－４）（ｘ－５）
＝ｘ²－９ｘ＋20

（４）
ｘ²－５ｘ＋３＝０
解の公式を適用して、
ｘ＝（５±√13）/２

（５）
１桁の偶数は２・４・６・８の４枚。
♦♥♣♠に４枚ずつあるから、４×４＝16枚
確率は、16/52＝４/13

（６）
３～６冊の度数は、30－（７＋５＋３＋２＋１）＝12冊
12÷30＝12/30＝４/10＝0.4

（７）

内角を求めるので、内角で攻めた方が良い。
五角形の内角の和は540°
（*ｎ角形の和は180（ｎ－２）°）
540－（110＋100＋110＋105）
＝540－425＝115°

（８）
ｙ＝５/２ｘ＋ａに、（ｘ、ｙ）＝（４、３）を代入。
３＝５/２×４＋ａ
ａ＝－７
ｙ軸との交点⇒切片は（０、－７）

（９）

四角錘の高さは、√（７²－３²）＝２√10ｃｍ
体積は、６×６×２√10÷３＝24√10ｃｍ³

（10）
336を素因数分解。
336＝２⁴×３×７
336をｎで割ったとき、残った素因数が偶数個になれば平方数になる。
２の素因数は４つあるが、３と７は１つずつしかない。
３×７＝21で336を割れば、商は２⁴＝４²＝16（平方数）になる。
21

大問２（方程式）

（１）
みきさんは玉ねぎをｘ袋、じゃがいもをｙ袋とした。
袋の数で等式。
ｘ＋ｙ＝91
売上金額の合計で等式。
190ｘ＋245ｙ＝19380

ゆうさんは玉ねぎをｘ個、じゃがいもをｙ個とした。
袋の数で等式。
袋の数は、（野菜の総数）÷（１袋あたりの野菜の個数）。
ｘ/３＋ｙ/６＝91
売上金額の合計で等式。
それぞれの袋の数に190円と245円をかければいい。
190/３ｘ＋245/６ｙ＝19380

ア…ｘ＋ｙ　イ…190ｘ＋245ｙ
ウ…ｘ/３＋ｙ/６、エ…190/３ｘ＋245/６ｙ

（２）
前問の連立を解く。
以下、みきの方法。
ｘ＋ｙ＝91　…①
190ｘ＋245ｙ＝19380　…②

②－①×190をすると、55ｙ＝2090
ｙ＝38
①に代入、ｘ＝53

袋の数であることに注意！
玉ねぎが53袋、じゃがいもが38袋だから、
玉ねぎは、３×53＝159個
じゃがいもは、６×38＝228個
玉ねぎ…159個、じゃがいも…228個

大問３（場合の数&平面図形）

（１）
Ａの順番で場合分け。

◆Ａが１番目のとき、Ｂはどこでも良い。
残り３つは順列の考えで、３×２×１＝６通り
◆Ａが２番目のとき、１番目を先に決めるとＣかＤの２通り。
２×２×１＝４通り
◆Ａが３番目のとき、４番目はＢが確定。
残り２つは、２×１＝２通り
◆Ａが４番目は無い。
計12通り。

（２）ａ
24×２×π×１/３＝16πｃｍ

ｂ
扇形の半径しかわかっていない。
そこで、長方形の辺の長さに相当する線分のうち、扇形に関わるところを探す。

ＥＨ＝ＢＡ
120°を活用する。
扇形の中心ＯからＢＡにむけて垂線をひき、交点をＩとすると、
図形全体が左右対称ゆえ、∠ＩＯＡ＝120÷２＝60°
△ＯＩＡの内角は30°—60°—90°で、辺の比が１：２：√３の直角三角形！
ＩＡ＝24×√３/２＝12√３ｃｍ
ＩはＢＡの中点だから、
ＥＨ＝12√３×２＝24√３ｃｍ

上の図のように記号をつけると、ＥＦの長さはＪＫにあたる。
ＩＡ//ＫＣより、△ＯＫＣの辺の比も１：２：√３。
ＯＫ＝12÷２＝６ｃｍ
ＯＪは扇形の半径で24ｃｍだから、ＥＦ＝24－６＝18ｃｍ
ＥＦ…18ｃｍ、ＦＧ…24√３ｃｍ

大問４（関数）

（１）ａ
ｙ＝１/２ｘ²にｘ＝－４を代入。
ｙ＝１/２×（－４）²＝８

ｂ

ｙ＝ｘ＋12をｘ軸について線対称⇒ｙ＝－ｘ－12
（*ｙ軸について線対称だとｙ＝－ｘ＋12）

（２）ａ

ｙ＝１/２ｘ²にｘ＝２を代入して、Ｐ（２、２）
Ｑのｙ座標が２だから、これをｙ＝ｘ＋12に代入して、Ｑ（－10、２）

長方形を２等分すると、点対称の関係にある２つの台形ができる。
２等分する直線とＱＰの交点をＴとする。
ＳＯ＝10、ＯＲ＝２だから、ＱＴ＝２、ＴＰ＝10
（一方の台形は上底２下底10、他方の台形は上底10下底２で等積）
ＴからＯは右に８、下に２ゆえ、傾きは－２/８＝－１/４
ｙ＝－１/４ｘ

ｂ

お決まりの手口。座標を文字で表して方程式に持ち込む。
放物線上にあるＰのｘ座標をｔとすると、Ｐ（ｔ、－１/２ｔ²）Ｒ（ｔ、０）
Ｑのｙ座標が１/２ｔ²だから、これをｙ＝ｘ＋12のｙに代入して、Ｑ（１/２ｔ²－12、１/２ｔ²）

正方形は縦と横が同じ長さ。
ＰＱ＝ｔ－（１/２ｔ²－12）＝－１/２ｔ²＋ｔ＋12
ＰＲ＝１/２ｔ²
－１/２ｔ²＋ｔ＋12＝１/２ｔ²　←左辺をすべて右辺に移項して左右ひっくり返す。
ｔ²－ｔ－12＝（ｔ＋３）（ｔ－４）０
ｔ＝－３、４

ＰＲ＝１/２ｔ²だから、
Ｐのｘ座標が－３のとき、ＰＲ＝１/２×（－３）²＝９/２
Ｐのｘ座標が４のとき、ＰＲ＝１/２×４²＝８
９/２、８

大問５（平面図形）

（１）

△ＤＥＦで外角定理。
∠ＤＥＦ＝∠ＤＥＧ＝ａ－90°

（２）
△ＡＢＤ∽△ＤＥＢの証明。

すぐ見える。
直角＋ＡＤ//ＢＥの錯角→２角相等で∽。

（３）

△ＡＤＢで三平方→ＢＤ＝２√５ｃｍ
前問の相似を活用。
△ＡＢＤ∽△ＤＥＢより、ＢＥ＝２√５×２√５/４＝５ｃｍ
ＢＣ＝４ｃｍだから、ＣＥ＝１ｃｍ

つづいて、△ＡＢＥ∽△ＧＣＥより、ＧＣ＝１×２/５＝２/５ｃｍ
ＤＧ＝２－２/５＝８/５ｃｍ

△ＡＢＥで三平方→ＡＥ＝√29ｃｍ
●＋×＝90°、対頂角で●を∠ＤＧＨに移すと、∠ＧＤＨ＝×
２角相等で△ＡＢＥ∽△ＧＨＤがいえる。
ＤＨ＝８/５×５/√29＝８√29/29ｃｍ

（４）

ＤＧ＝８/５ｃｍが既出なので、△ＢＤＣから△ＦＤＧを引く。
△ＡＢＦ∽△ＧＤＦより、ＡＦ：ＦＧ＝２：８/５＝⑤：④
△ＡＤＦ：△ＦＤＧの面積比も５：４だから、
〔△ＡＤＧ⇒△ＦＤＧ〕で△ＦＤＧの面積は、４×８/５÷２×４/９＝64/45ｃｍ²
四角形ＢＣＧＦの面積は、２×４÷２－64/45＝116/45ｃｍ²