2022年度 神奈川県公立高校入試過去問【数学】解説

平均52.9点(前年比;-5.3点)

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大問1(計算)

(ア) 97.3%
-6+(-9)
=-6-9
=-15 【1】

(イ) 87.4%
-3/8+2/3
=7/24 
【4】

(ウ) 89.5%
(3x-y)/4-(x-2y)/6
={3(3x-y)-2(x-2y)}/12
=(9x-3y-2x+4y)/12
=(7x+y)/12 
【3】

(エ) 93.6%
18/√2-√32
=9√2-4√2
=5√2 【2】

(オ) 89.2%
(x-2
)(x-5)-(x-3)2
=x2-7x+10-x2+6x-9
=-x+1 【3】

大問2(小問集合)

(ア) 80.4%
0.2x+0.8y=1 …①
1/2x+7/8y=-2 …②

①を10倍して、2x+8y=10 …③
②を8倍して、4x+7y=-16 …④
③×2-④をすると、y=4
③に代入して、x=-11
x=-11、y=4 
【1】

(イ) 92.3%
4x2-x-2=0
解の公式を適用して、x=(1±√33)/8 
【3】

(ウ) 78.4%
a<0だから、上に凸のグラフ。
x=0のとき、最大値y=0
x=4のとき、最小値y=-4
-4≦y≦0だから、a=-4、b=0 【2】

(エ) 59.2%
求めたいA班をx人とすると、B班はx-5人。
A班が並べたイス…3x脚
B班が並べたイス…4(x-5)脚
A班がB班より3脚多かったので、等式を成り立たせるにはA班側を-3する
3x-3=4(x-5)
x=17
17人 【3】

(オ) 69.6%
対称式は、あらかじめ和と積を出しておく。
x+y=(√6+√3)-(√6-√3)=2√3
xy=(√6+√3)(√6-√3)=6-3=3

2y+xy2
=xy(x+y) ←ここで代入。
=3×2√3
=6√3 
【4】


大問3(小問集合2)

(ア)ⅰ a…80.1%、bc…78.6%
△DEG≡△DCHの証明。

仮定より、DG=DH
二等辺三角形FDCの底角と、AD//BCの錯角で∠ADC=∠DCF
よって、∠EDG=∠CDH


∠BCDの二等分線と錯角により、△DECは二等辺三角形だからDE=DC
2辺とあいだの角が等しいので△DEG≡△DCHとなる。
a…【3】、b…【2】、c…【2】

ⅱ 37.8%
思考力が試される良い問題です。

平行四辺形ABCDより、対角は等しいから∠ABC=
をいじったら四角形CFDEが平行四辺形になった。
平行四辺形になる条件はいろいろあるが、たぶん有名角だろうと想像する。
もし、=60°ならば二等辺三角形CDEより×=60°となり、△CDEは正三角形
∠FDC()=∠ECD(×)=60°で錯角が等しくなり、EC//DFがいえる
ED//CFと合わせて2組の対辺が平行だから、四角形CFDEは平行四辺形。
よって、∠ABC=60° 
【4】

(イ) 25.4%!
こちらは悪問。
1年生の中央値(メジアン)を求める。
38人の中央値は19番目と20番目の平均で22~26の階級。
それぞれのヒストグラムの中央値を求めるが、しんどくてイライラする(*’ω’*)💢 💢
こういうのは1度試せば良い話で、同じ作業をもう6回も要求するのは問題として不適である。

40人の中央値は20番目と21番目の平均。それぞれの中央値を含む階級は、
1が22-26、2が22-26、3が18-22、4が18-22、5が22-26、6が26-30です 💢 💢 💢
(3と4については30回以上の生徒が少ないので、目分量でスキップ可)
2年生は1・2・5のいずれか。
30回以上の割合は、1年生が7/38、1が4/40、2が9/40、5が9/40。
2年生の方が小さいので、1が2年生。

3年生の最大値は34-38の階級にあるので、4・5・6のいずれか。
2年生の最頻値(モード)が26-30の階級だから5が外れる。
14回未満の割合は、1年生が4/38、4が6/40、6が4/40。
3年生の方が小さいので、6が3年生。
ⅰ…【1】、ⅱ…【6】

(ウ) 16.3%!
出しにくい。

BCに補助線をひくと、四角形BCDEは等脚台形
錯角や弧BC・弧DEに対する円周角を使うと、はすべて等角で二等辺三角形が2つある
外角定理より、=86÷2=43°

弧BDに対する円周角で、∠BED=67°
∠FED=67-43=24°
×の角度が知りたい。

67°を錯角でおろすとわかりやすい。
×=(180-43-67)÷2=35°
最後に△DEFで外角定理→∠AFE=24+35=59°

(エ) 0.7%!!!
大問3からヘビー過ぎる。
思いつきにくいので後回し推奨です。

直径に対する円周角で、∠ACB=∠ADB=90°
同位角で、∠AED=90°


AE:ED=2:3を活用する
長方形CEDGを作成
∠ADE(×)=90-∠FDB
∠BDG=90-∠FDB=×
2角相等で△ADE∽△BDGが導ける。
BG=1×2/3=2/3cm

CB=3-2/3=7/3cm
△AFE∽△ABCで、EF=7/3×2/3=14/9cm

FD=3-14/9=13/9cm
△BDFの面積は、13/9×1÷2=13/18cm2

大問4(関数)

(ア) 87.0%
y=x+3にx=6を代入してy=9
A(6、9)
これをy=ax2に放り込むと、
9=36a
a=1/4 【2】

(イ) 74.6%

座標を確定していく。
Bはy軸についてAと対称だから(-6、9)。
y=x+3にx=-6を代入、C(-6、-3)。
DO:OE=⑥:⑤より、E(5、0)

C(-6、-3)⇒E(5、0)は右に11、上に3移動するから、傾きm=3/11
切片は三角形の相似を使って3×⑤/⑪=15/11→切片n=-15/11
ⅰ…【3】、ⅱ…【5】

(ウ) 6.9%!

△AFGと△AEGが等積なので、底辺の長さは等しい→FG=GE
GはEFの中点。Gのy座標は9÷2=4.5
これをy=x+3に代入して、G(1.5、4.5)

x座標に注目すると、Eから-3.5がG。Gからさらに-3.5でF(-2、9)。
BF:FA=4:8=1:2
△BFG:△AFG=①:②
等積で△AEG=②

x座標の差から、CG:GA=7.5:4.5=15:9=5:3
△CEG=②×5/3=〇10/3
よって、△BGF:△CEG=①:〇10/3=
3:10

大問5(確率)

(ア) 76.9%
XとYの面積が等しいということは、RはPQに中点にある
PR:RQ=1:1
さいころの出目が同数になればいい
(1、1)(2、2)…(6、6)の6通り。
全体が6×6=36通りだから、確率は6/36=1/6

(イ) 14.7%!
なんじゃこりゃ(;°;ω;°;)

こういうことなんですけど、aとbは割合であって長さではない。。

1次不等式を使わせて頂きます( ˙ω˙ )

PR=xcm、RQ=10-xcmとする。
2-(10-x)2
=x2-100+20xーx2
=20x-100≧25
x≧6.25

PRが6.25cm以上になれば条件に適する
PQの長さが10cmなので、割合でいえば、6.25÷10=5/8
PRの割合が5/8(百分率でいえば62.5%)以上となる場合を調べる

a>bでないとダメなので、残りは15マス。

(a、b)=(2、1)で、PRの割合は
2/3(66.6%)だから〇。
右4つもすべて〇です。

(3、2)ではPRの割合が3/5(60%)で不適。
(4、2)は先ほどの(2、1)と割合が同じだから〇。右2つも〇。

先に(5、3)を検証すると、PRの割合がちょうど5/8で〇。
その左が×で、右が〇。

先ほどの(5、3)がちょうど5/8だったので、
(5、4)の5/9は計算するまでもなく割合が小さいとわかる×。
すると、左の(6、4)も自動的に×。下の(6、5)も連鎖して×。
合計10通り。
確率は10/36=
5/18

@別解@

Xの1辺は、10×a/(a+b)cm
Yの1辺は、10×b/(a+b)cm
これらを2乗した差が25以上になる。

両辺を÷25⇒÷4の手順で加工しています。
平方の差があらわれるので…

(a-b)/(a+b)≧1/4となるパターンを精査すれば10通りになります。


大問6(空間図形)

(ア) 52.2%

Bから垂線をひくと、3:4:5の直角三角形が見つかる
CD=4cm
台形ABCDの面積は、(1+4)×4÷2=10cm2
四角柱の体積は、10×1=10cm3 
【2】

(イ) 42.6%

三角錐D―BCGの面BDGの面積を求める。
△BCGは直角二等辺で、辺の比は1:1:√2→BG=√2cm

CからBGに向けて垂線、足をJとするとJはBGの中点
CJ=√2÷2=√2/2cm
△DJCで三平方→DJ=√(33/2)cm

△BDGは二等辺三角形で高さはDJにあたるから、
√2×√(33/2)
÷2=√33/2cm2 【4】

(ウ) 2.7%!!

最短距離なので展開図を作成。
ID=4×③/⑩=6/5cm
右側の斜めをどう処理すべきか。。


類題が2019年大問6でも出題されている(正答率1.7%!)。
最終的にIAを斜辺とする直角三角形の長さがわかればいい。
(ア)で3:4:5の直角三角形があったのでこれを活用する
Fから垂線、足をKとする。
△FEKと角を共有する直角三角形を右側に作成。
×=90°で角度を調査。
内角が×―90°の直角三角形は辺の比が3:4:5である

△ALEでAE=1cmだから、AL=3/5cm、EL=4/5cm


直角三角形IAMを作成。
IM=6/5-3/5=3/5cm
MA=DL=1+4+4/5=29/5cm

最後に△IMAで三平方だが、最後も処理が重い。。
IA=√{(29/5)2+(3/5)2
=√{(841+9)/25}
=√(850/25)=√34cm


大問1と大問2で配点が35点。
後半がアレなので失点は防ぎたい。
大問1
(ウ)通分するときは分子のカッコを忘れずに。
大問2
(エ)イスの問題って1脚あたり何人か座って座れない人が〇人でたとか、
△脚余ったという設定が多いが、単に並べるだけという。。
(オ)対称式は高1で習うが、埼玉の学校選択問題でも出てきた。
大問3
例年、変なのが紛れているので、ちょっと考えて無理そうなら後回し。
(ア)ⅱもう1組の対辺を平行にさせる→錯角か同位角を等しくさせる。
(イ)ちんけで不毛で瑣末な生産性のない作業を強いられることが、
いかに哀れで空虚で
寂寥感のある物悲しい時間か、受験生をいたずらに混乱させるだけである💢
せめて、選択肢の各ヒストグラムには下に中央値を与えておくべきだった。
神奈川の教育関係者はどう思ってるのか??
(ウ)出しやすそうでなかなか手が届きにくい。
最初は試行錯誤してみるしかない。
(エ)取っ掛かりが見つけにくい。
与えられた3つの長さのうち、2辺が判明した△ADEと相似にあたる図形をどこかで作る。
大問4
(ウ)後半の大問では取りやすい。
解説ではGの座標を特定し、△BGFから時計回りに面積比を算出した。
大問5
(イ)ひねくれてる人が問題作ったのかなって思った。
大問6
(イ)体積÷高さ=底面積という手法もあるが、高さはCとBGの中点ではない。
三平方を使ってチクチク求めていく。
(ウ)いくつかの小問をスルーしても大変。
幸い、過去問に類題があったが、作図も要するので短時間では厳しい。
(ア)の3:4:5の直角三角形を活用する発想を得たい。
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