2021年度 京都府公立高校入試・中期過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の除外は三平方の定理と標本調査。

大問1(小問集合)

(1)
(-4)2-9÷(-3)
=16+3=
19

(2)
6x2y×2/9y÷8xy2
=1/6x

(3)
1/√8×4√6-√27

=-√3

(4)
(7x-3y)-(2x+5y)
=5x-8y
=5×1/5-8×(-3/4)
=1+6=7

(5)
(x+1)2=72
x+1=±6√2
x=-1±6√2

(6)
x=2のとき、y=-2
x=6のとき、y=-18
変化の割合=(yの増加量)÷(xの増加量)
={-18-(-2)}÷(6-2)=-4

@別解@
y=ax2において、xの値がp→qまで増加するときの変化の割合はa(p+q)
-1/2×(2+6)=-4

(7)
点対称。回転の中心はO。

対応する点をつなげる。

(8)
4枚の表裏の出方は、24=16通り
4枚すべてが表
1通りしかない。
◆3枚が表
4枚のうち1枚だけが裏→4通り

合計5通り。
確率は、5/16。

大問2(資料問題)

(1)
階級値×度数の合計を15で割る。
(10×4+14×8+18×3)÷15
=206÷15=13.73…≒13.7℃

(2)

不等式にでてくる●―○で情報整理。
●はその数値を含み、○は含まない。

17℃以上20℃未満は0日。
16℃以上17℃未満は3日。
14℃以上16℃未満は、8-3=5日


大問3(空間図形)

すんごくシンプル( ;゚д゚)
(1)
錘の体積…底面積×高さ÷3
底面は1辺6cmの正方形。
6×6×3√3÷3=36√3cm3

(2)

立面図の赤い正三角形を立体図で示すと右図のようになる。
底面積
は1辺6cmの正方形、側面積は底辺6cm、高さ6cmの二等辺三角形。
表面積は、6×6+6×6÷2×4=108cm2

大問4(関数)

(1)
y=1/2x+2にx=10を代入→B(10、7)
y=-x+5にx=10を代入→C(10、-5)
BC間の距離は、7-(-5)=12

@@
Aはy=1/2x+2とy=-x+5の交点。
1/2x+2=-x+5
x=2
y=-2+5=3
A(2、3)
Aのx座標とBのx座標の差で距離を求める。
10-2=8

(2)
(1)が本問の布石になっている。

(Eの位置がおかしくて申し訳ない)
△ABCの面積は、12×8÷2=48
DEで△ABCを区切ると、△DCEの面積が24になればいい
y=-x+5にy=0を代入。D(5、0)
△DCEで底辺をCEとすると、高さはDとECの距離である5。
EC=24×2÷5=48/5
Eのy座標…-5+48/5=23/5

D(5、0)→E(10、23/5
右に5、上に23/5移動するので、変化の割合は23/5÷5=23/25
y=23/25x+bにD座標を代入。
0=23/25×5+b
b=-23/5
y=23/25x-23/5


大問5(平面図形)

(1)
A,B,Cは円を3等分する点なので、
∠AOB=360÷3=120°

(2)
円の3分の1である扇形OABの面積が54πcm2
円Oの面積は、54π×3=162πcm2
円の半径をrとすると、πr2=162πなので、
2=162
r=√162=9√2cm

(3)

本問の図形を見たとき、サボは正六角形を思い浮かべました。
A、B、Cが円周の3分の1、Eは弧ABの中点。
△AEOと△EBOの内角はすべて60°で正三角形。
∠AEO=∠EOBで錯角が等しく、AE//BO。

DO=、AE=
2角が等しく、△AEF∽△DOF
EF:FO=
半径9√2cmがに相当する。
FC=9√2×/+9√2
=23√2/2cm

大問6(規則)

(1)

魔方陣の要領で考えていく。
5番目のAは、5×4=20枚

(2)

タイルAだったところがタイルBに変わっていく。
9番目のタイルBの枚数は、1~8番目でタイルAであった枚数の合計+1
最後の+1は最初からタイルBであった図形中央のタイルである。

Aであった枚数の合計は、先ほどの魔方陣のやり方を応用して1~8番目を一括処理。
(1+2+3+4+5+6+7+8)×4+1
=36×4+1=145枚

(3)
今までのおさらい。
n番目のタイルA…4n
n番目のタイルB…(1~n-1番目までの和)×4+1。
1~n-1までの和は、{1+(n-1)}×(n-1)÷2=1/2n(n-1)

4n+1009=1/2n(n-1)×4+1
2n2-6n-1008=0
2-3n-504
=(n-24)(n+21)=0
n>0だから、n=24
答えは24番目の図形。

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