2017年度　栃木県公立高校入試問題過去問【数学】解説

全体的に標準問題です。
ラストの規則は栃木や群馬の過去問に似たような問題がでています。
問題はコチラから→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）　99.5％
３×（－４）＝－１２

（２）　93.4％
３/４ｘ－１/２ｘ＝１/４x

（３）　90.2％
２（ａ－３ｂ）＋３（ａ＋ｂ）
＝２ａ－６ｂ＋３ａ＋３ｂ
＝５ａ－３ｂ

（４）　73.0％
ｘ²－６ｘ＝ｘ（ｘ－６）
ｘでまとめるだけ。

（５）　65.6％
ｙ＝（ｘ－７）/５
５ｙ＝ｘ－７
ｘ＝５ｙ＋７

（６）　77.4％
ｘに６を放り込んでａを求める。
ａｘ＋９＝５ｘ－ａ
６ａ＋９＝３０－ａ
ａ＝３

（７）　77.5％
比例の一般式ｙ＝ａｘにｘ＝－２、ｙ＝－８を代入
→ｙ＝－４ｘ
これにｘ＝－１を代入して、ｙ＝４

（８）　69.9％
相似比。３×９/４＝２７/４ｃｍ

（９）　89.1％
出目が４以外は５通り→５/６

（10）　87.6％
平行四辺形の対角は等しい。∠ＡＢＥ＝６５°
△ＡＢＥで外角定理。ｘ＝４７＋６５＝１１２°

（11）　71.3％
√４５＝３√５。√５をかければ整数になるので、ｎ＝５

（12）　84.4％
三角柱のねじれの位置。
ねじれの位置は、ある辺と平行でない、かつ交わらない。
辺ＡＤと平行な辺と交わる辺に×をつけていけばいい。辺ＢＣ・辺ＥＦ

（13）　73.3％
ｘ＝０のとき最小値ｙ＝０。ｘ＝３のとき最大値ｙ＝１８
（14）球になる。球の体積は４/３πｒ³
４/３π×２³=３２/３πｃｍ³

大問２（小問集合２）

（１）作図問題。公式解答参照。　65.5％
*ＡＢとＡＤからの距離が等しい→∠ＤＡＢの二等分線
これと辺ＣＤとの交点がＰとなる。

（２）①ウ　87.0％　　②４２０人　71.5％
*①標本に偏りがあってはならない。
②抽出された標本から、手伝いしている：していない＝３２：８＝４：１
よって、２５２×４/５＝４２０人

（３）５/２　48.7％
*Ｂ（２、４）
ＢＤ＝４、長方形ＡＣＤＢの面積２４から縦ＡＢ＝６
Ａ（２、１０）　これを、ｙ＝ａｘ²に代入する。

大問３（整数＆方程式）

（１）公式解答参照、整数の証明問題。　50.0％（部分正答含62.4％）
全てをａで表す。従順に計算すれば５になる。

（２）文章題の標準問題。記述式。　37.7％（部分正答含71.8％）
図を書いてみよう。１つは距離の式、もう１つは時間の式で連立が完成する。
距離・・ｘ＋ｙ＝３６００
時間・・ｘ/８０＋５＋ｙ/４８０＝２０

大問４（図形）

（１）公式解答参照、相似の証明問題。　36.2％（部分正答含69.1％）
共通角＋二等辺の底角→円周角＝２角が等しい＝相似

（２）①２√５ｃｍ　48.5％　　②１５：２　18.3％！
*①展開図。△ＰＦＨで三平方の定理。
ＰＨ＝√（２²＋４²）＝√２０＝２√５ｃｍ
②Ｐ－ＦＧＨＩＪの体積を①とする。
Ａ－ＦＧＨＩＪ＝〇５/２（高さが５/２倍だから）
五角柱ＡＢＣＤＥ－ＦＧＨＩＪ＝〇１５/２（錘から柱は３倍だから）
よって、Ｓ：Ｔ＝１５/２：１＝１５：２

大問５（数量変化）

（１）①８６Ｌ　51.0％　　②５分後　39.4％
③ｙ＝－４ｘ＋２００　34.6％（部分正答含45.1％）
*①Ｂは毎分６Ｌ入って毎分４Ｌ出る→毎分２Ｌ増加
８０＋２×３－８６Ｌ
②Ａ：毎分－６Ｌ、Ｂ：毎分＋２Ｌ
水量が等しくなる時間が排水からｘ分後だとすると、
１２０－６ｘ＝８０＋２ｘ
ｘ＝５
③記述式。解き方は典型的。
20≦ｘ≦50は右に３０、下に１２０だから、傾きは－１２０/３０＝－４
これを（５０、０）に代入して切片を求める。
三角形の相似から求めてもＯＫだけど、記述がめんどい。。

（２）３３分２０秒後　11.8％！
*文章題は情報整理！
Ｂの数量変化は、
Ａがなくなるまで（－１Ｌ）→Ａがなくなる（－７Ｌ）→排水量変える（－４Ｌ）
と３段階変化する。
Ａがなくなるのは、１５０÷６＝２５分後
２５分後のＢの残量は、１１０－２５＝８５Ｌ
残り４０－２５＝１５分間で８５Ｌがなくなる。
あとは一次方程式。
ＡがなくなってからＢの排水量を変えたのがｘ分後とすると、
４Ｌで排出した時間は１５－ｘ分間
７ｘ＋４（１５－ｘ）＝８５
ｘ＝２５/３＝８・１/３分＝８分２０秒後
留意すべき点は、【ＡとＢが同時に排水を始めてから】なので、
８分２０秒後＋２５分＝３３分２５秒となる。
最後にＡがなくなるまでの２５分をたすこと！

大問６（規則）

（１）①６０個　62.2％　　②４７ｃｍ²　46.2％
*①４×５×３＝６０個
②側面２つと天井にわける。
（４＋５）×３＋４×５＝４７ｃｍ²

（２）ｘ＝6　　13.1％！（部分正答含15.4％）
*文字式を使った記述問題。
前問ができれば、縦・横＝ｘ、高さ＝５で基本は同じ。
ただし、【１面だけ色が塗られた】積み木の個数なので、
直方体Ｂの３辺に接する積み木を除外する。
→各辺－１。
２（ｘ－１）×（５－１）＋（ｘ－１）²＝６５
ｘ²＋６ｘ－７＝６５
ｘ²＋６ｘ－７２＝（ｘ＋１２）（ｘ－６）＝０
ｘ＞０なので、ｘ＝６

（３）１１個　　8.3％!!
*面が表れる数が最も少ない直方体Ｂの形を考える。
過去問に似たような問題があるので、察しはつきやすい。
できるだけ、立方体に近づくように積み木Ａを積めばいい。
８４を素因数分解すると、８４＝２×２×３×７
立方体に近い形は３×４×７
【２面だけ色が塗られる積み木】は直方体Ｂの各辺に接する場所に表れる。
ただし、３辺が交わる頂点は３面が塗られるので除く。
結局、前問と同じで、個数は各辺－１と同じ。
（３－１）＋（４－１）＋（７－１）＝１１個
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