大問１（小問集合）
*15問の中から指示された８問を解答する。
（１）
－２×（４－７）
＝－２×（－３）
＝６
（２）
５ａ＋２ｂ－２（３ａ－ｂ）
＝５ａ＋２ｂ－６ａ＋２ｂ
＝－ａ＋４ｂ
（３）
『より大きい』のでイコールはつかない。
ｙ＞２ｘ＋３
（４）
４ａ＋５ｂ＝８
４ａ＝－５ｂ＋８ ←÷４
ａ＝－５/４ｂ＋２
（５）
√18－４/√２
＝３√２－２√２
＝√２
（６）
３ｘ＋ｙ＝５ …①
ｘ－２ｙ＝11 …②
①×２＋②をすると、７ｘ＝21
ｘ＝３
①に代入、９＋ｙ＝５
ｙ＝－４
ｘ＝３、ｙ＝－４
（７）
３ｘ2－ｘ－１＝０
解の公式より、ｘ＝（１±√13）/６
（８）
ｘ2－２ｘ－３
＝（ｘ－３）（ｘ＋１） ←代入
＝（１＋√５－３）（１＋√５＋１）
＝（√５－２）（√５＋２）
＝（√５）2－２2
＝１
（９）
抽出した50個のうち、黒：白＝⑦：㊸
四捨五入して十の位まで求める→一の位を四捨五入する。
黒全体は100個だから、白全体は100×㊸/⑦＝614…≒610個
（10）
ｎ/12が整数→ｎは12の倍数である。
360/ｎが整数→ｎは360の約数である。
つまり、360の約数で12の倍数を数えればいい。
360÷12＝30＝２×３×５
12に【２・３・５】それぞれの素因数を掛け合わせるか否か。
（*掛け合わせる→〇、掛け合わせない→×
２〇、３×、５〇であれば、12×２×５＝120）
２3＝８個
（11）
Ｑを通る平行線をひく。
錯角で移していくと、ｘ＝60－25＝35°
（12）
青の三角形で外角定理→∠ＤＡＣ＝80－44＝36°
ＢＣに補助線。弧ＤＣに対する円周角で∠ＤＢＣ＝36°
半円の弧に対する円周角は90°だから、ｘ＝90－36＝54°
（13）
ＤとＦはそれぞれＢＣ、ＥＣの中点。
中点連結定理からＢＥ//ＤＦ、ＢＥ＝５×２＝10ｃｍ
△ＡＧＥ∽△ＡＤＦで、ＧＥ＝５÷２＝2.5ｃｍ
ＢＧ＝10－2.5＝7.5ｃｍ
（14）
△ＡＢＤと△ＣＢＤは３辺相等で合同→△ＡＢＤは直角二等辺。
Ａから垂線をおろすと、底面ＢＣＤＥとの交点ＨはＢＤの中点である。
△ＡＢＨも直角二等辺→１：１：√２より、ＡＨ＝６×１/√２＝３√２ｃｍ
正四角錐の体積は、６×６×３√２÷３＝36√２ｃｍ3
（15）
水面の高さ上昇分…半径３ｃｍの球４つの体積を円柱の底面積で割ればいい。
【球の体積Ｖ＝４/３πｒ3】
４/３π×３3×４÷（８×８×π）＝９/４ｃｍ
水面の高さは、10＋９/４＝49/４ｃｍ
大問２（小問集合２）
（１）
一次方程式。
正解がｘ問、不正解は20－ｘ問。
正解＋10点、不正解－５点、合計155点だから、
10ｘ－５（20－ｘ）＝155
ａ…10ｘ－５（20－ｘ）
（２）
連続する３つの整数はｎ、ｎ＋１、ｎ＋２。
ア…ｎ＋１、イ…ｎ＋２
ウ
ｎ＋（ｎ＋２）
＝２ｎ＋２
＝２（ｎ＋１）
ｎ＋１は真ん中の整数だから、２（ｎ＋１）は真ん中の整数の２倍である。
→したがって、最も小さい整数と最も大きい整数の和は真ん中の整数の２倍。
（３）
Ａを通るＢＣの垂線をひき、交点にＰを記す。
（４）①
右下がり→傾きａは負。
切片ｂは正。
負×負＝正なので－ａは正→ｂ－ａ＝ｂ＋（－ａ）は正。
ウ
②
ｙ＝12/ｘにｘ＝４を代入してＡ（４、３）
Ｂ（０、１）→Ａ（４、３）
右に４、上に２だから、傾きは２/４＝１/２
切片はＢのｙ座標１。
ｙ＝１/２ｘ＋１
大問３（平面図形）
（１）
折り返しから、∠ＰＢＥ＝（90－60）÷２＝15°
錯角で、∠ＢＥＣ＝∠ＢＥＰ＝60＋15＝75°
（２）①
△ＡＢＧ≡△ＡＨＦの証明。
長方形の対辺と折り返しで、ＡＢ＝ＣＤ＝ＡＨ
長方形の内角と折り返しで、∠Ｂ＝∠Ｄ＝∠Ｈ
∠ＢＡＤ＝∠ＨＡＧ＝90°だから、
∠ＢＡＧ＝90－∠ＦＡＧ＝∠ＨＡＦ
１辺と両端角が等しいから合同。
ａ…ウ、ｂ…１辺と両端角が等しい
②
△ＡＰＩ∽△ＨＦＩの証明。
仮定から、∠Ａ＝∠Ｈ
対頂角で、∠ＡＩＰ＝∠ＨＩＦ
２角相等で∽
（３）
ＨＰ＝ＤＣ＝ＡＢ＝12ｃｍなので、ＩＰ＝12－４＝８ｃｍ
●＋×＝90°で等角を記す。２角相等で△ＡＰＩ∽△ＢＧＰ
ＩＰ：ＡＰ＝ＰＧ：ＢＧ＝④：③
折り返しで、ＧＣ＝④
△ＢＧＰの辺の比で三平方→ＰＢ＝〇√7
ＢＣ＝６×⑦/〇√7＝６√７ｃｍ
大問４（確率・データの活用）
（１）
絶対値が１以下→－１～１の範囲。
●０…ａとｂが同数。（１、１）～（６、６）の６通り
●１…ａ－ｂ＝１。（２、１）（３、２）…（６、５）の５通り
●－１…ｂ－ａ＝１。前の５通りのａとｂをひっくり返せばいい。対称性から５通り
計16通り。全体は６×６＝36通りだから、確率は16/36＝４/９
（２）
ア：中央値（Q2）は等しくない。×
イ：最大値は等しい。〇
ウ：四分位範囲（箱の部分）＝第３四分位数（Q3）－第１四分位数（Q1）
箱が短いＡの方が四分位範囲は小さい。×
エ：四分位範囲は真ん中に集まる約半数のデータを示す。
３冊以上５冊以下に箱が収まるＡは、全体の約50％がそれに該当する。×
オ：22人の中央値は11番目と12番目の平均。Ｂ組の６冊以上は少なくとも11人いる。
23人のQ3は上位11人の真ん中→上から６番目が５冊。Ａ組の６冊以上は多くて５人。
よって、６冊以上の人数はＢ組がＡ組の２倍以上といえる。〇
イ・オ
大問５―Ⅰ（数量変化）
（１）
↑４秒後の様子。
ｙ＝４×６÷２＝12
（２）
０≦ｘ≦３のとき、底辺ＡＰと高さＡＱが伸びるから、△ＡＰＱの面積はｙ＝ａｘ2で増加する。
３≦ｘ≦６のとき、底辺ＡＰが伸びて高さは一定。面積は一次関数で増加する。
６≦ｘ≦12のとき、底辺ＡＰが短くなり面積は一次関数で減少、ｘ＝12のときｙ＝０になる。
ウ
（３）
答案では求める過程も書く。
６≦ｘ≦12だから、ＰがＢを折り返したあと。
ＡＰ＝８×２÷６＝８/３ｃｍ
Ｐが動いた距離は、２ＡＢ－ＡＰ＝２×６－８/３＝28/３ｃｍ
Ｐの速さは秒速１ｃｍだから、ｘ＝28/３÷１＝28/３
大問５―Ⅱ（数量変化）
（１）
０≦ｘ≦２→ＰはＡＢ上、ＱはＡＤ上にいる。
ＡＱ＝ｘとすると、ＡＰ＝３ｘ
ｘ×３ｘ÷２＝３/２ｘ2＝３
ｘ2＝２
０≦ｘ≦２より、ｘ＝√２
（２）
答案では求める過程も書く。
ＰがＢに着くｘ＝２のとき、ＰＱの長さは２√10ｃｍ
３＜√10＜４ ←２倍
６＜２√10＜８
ＰＱの長さは８ｃｍ未満。
ＰＱ＝８ｃｍとなるのは、ＰがＱより右側にあるとき。
先にｘの変域を確認しておく。
ＰがＢＣ上にある→Ｐの移動距離は６～21ｃｍ→２≦ｘ≦７
ＱからＢＣに垂線をおろし、足をＨとする。
ＡＢ＝ＱＨ＝６ｃｍ
ＡＱ＝ＢＨ＝ｘｃｍ
ＨＰ＝３ｘ－（６＋ｘ）＝２ｘ－６ｃｍ
△ＡＨＰで三平方。
（２ｘ－６）2＋６2＝８2
４ｘ2－24ｘ＋36＋36＝64
４ｘ2－24ｘ＋８＝０ ←÷４
ｘ2－６ｘ＋２＝０
解の公式を適用。２≦ｘ≦７より、ｘ＝３＋√７
（３）
Ｄから垂線をおろす。
右は３：４：５の直角三角形→ＣＤ＝10ｃｍ
台形ＡＢＣＤの１周は、６＋15＋10＋７＝38ｃｍ
△ＡＰＱの面積が△ＡＣＤの半分→高さ共通なので、底辺ＰＱは底辺ＣＤの半分の５ｃｍ。
ＰとＱの移動距離の和は、38－５＝33ｃｍ
ＰとＱは１秒あたり３＋１＝４ｃｍずつ近づくので、ｘ＝33÷４＝33/４
●講評●
大問１
後半の小問も解きやすくなっている。
（８）とりあえず因数分解してみたあとに代入。
（10）ｎがどのような数かはわかりやすいが、360の約数が多いので工夫を凝らしたい。
360（２3×３2×５）÷12（２2×３）＝30（２×３×５）
12を除いた素因数の個数に着目する。
（11）反時計回りに周回してもいいが、
正方形の対辺とクの字がみえればいつもの手法が使える。
（13）ＢＥ//ＤＦっぽい。中点に関する有名な定理。
（14）公立高校入試でちらほら見かける。
（15）方針が立てやすかった。
大問２
いずれも基本ゆえ失点に気を付けたい。
大問３
（２）までは取りたい。
（３）高校受験の折り返しは求めたい長さをｘとおいて三平方を使うのが王道だが、
今回は折り返し前の長方形の横を求める。
△ＡＰＩの辺の比を手掛かりにする。
上側でやってもいいが、下側だとＩＰ：ＡＰ＝④：③の整数比を利用できる。
大問４
（１）０は同数。±１はａとｂに対称性がある。
（２）ＡとＢは人数が１人違うが、いずれも判断しやすかった。
オ：Ｂは半分、Ａは４分の１に満たない→Ｂが２倍以上いる。
大問５―Ⅰ
（２）紛らわしい選択肢はなかった。
（３）ｘの変域からどういったタイミングかつかむ。
底辺ＡＰの長さからＰの移動距離がわかる。
大問５―Ⅱ
（２）ＰがＱを追い越し、斜辺が右下がりになった状況で三平方を行う。
（３）△ＡＣＤの半分→Ｐ、Ｑが出会うゴール５ｃｍ手前。
中学受験の旅人算だと処理量が少ない。
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