平均48.7点(前年比;+0.6点)
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大問1(小問集合)
*15問の中から指示された8問を解答する。
(1) 93.8%
6-2×5
=6-10
=-4
(2) 84.3%
5(x+2y)-2(4x-y)
=5x+10y-8x+2y
=-3x+12y
(3) 79.6%
90=2×32×5
(4) 56.6%
1/3x2y3÷2xy
=1/6xy2 ←代入
=1/6×3×(-2)2 ←(-2)2=4
=2
(5) 69.6%
√32-√50+√27
=4√2-5√2+3√3
=-√2+3√3
(6) 75.0%
0.8x+4=1.5x-0.9
0.7x=4.9
x=7
(*10倍して整理してもいい)
(7) 84.9%
2x-y=7 …①
5x+3y=1 …②
①×3+②をすると、11x=22
x=2
①に代入、2×2-y=7
y=-3
x=2、y=-3
(8) 69.8%
x2-2x=24
x2-2x-24
=(x+4)(x-6)=0
x=-4、6
(9) 57.5%
データを昇順にする。【5、9、9、13、14、15、16、17、20】
9人の中央値は5番目→14
第1四分位数は下位4人の真ん中、下から2番目と3番目の平均→9(a)
第3四分位数は上位4人の真ん中、上から2番目と3番目の平均→16.5(b)
a=9、b=16.5
(10) 6.8%!!
最初は因数分解をしてみる。
n2-20n+91
=(n-13)(n-7)=素数
素数は1と自身しか約数をもたない数。
(n-13)と(n-7)をかけあわせた数が素数になる→いずれかが1である。
*1×素数=素数
●n-13=1
n=14を代入すると、(14-13)×(14-7)=7で素数〇
●n-7=1
n=8を代入すると、(8-13)×(8-7)=-5で素数にならない×
*素数は自然数だけである。
…ここで終わりたくなるが、(n-13)と(n-7)がともに負だと素数になる可能性がある!
*-1×(-素数)=素数
●n-13=-1
n=12を代入すると、(12-13)×(12-7)=-5で×
●n-7=-1
n=6を代入すると、(6-13)×(6-7)=7で〇
n=6、14
(11) 87.3%
68°を同位角でおろす。
赤線で外角定理→x=68-25=43°
(12) 40.6%
弧ADの円周角より、∠ABD=53°
半円の弧に対する円周角→∠BAD=90°
∠BAC=90-28=62°
赤線で外角定理→x=53+62=115°
(13) 13.4%!
CQを1辺とする△BCQと相似にある三角形が欲しい。
そこで、Pを通るCQに平行な線をひき、CDとの交点をRとする。
同位角で∠QCR=∠PRD=60°
△PRDはすべての内角が60°で正三角形→1辺の長さは7-3=4cm
△BCQ∽△BRPより、CQ=4×7/10=14/5cm
(14) 21.8%!
回転体はアイスクリーム。
アイスは半径6cmの半球。【球の体積V=4/3πr3】
△OBCで三平方→辺の比は3:4:5でOC=8cm
回転体の体積は、4/3π×63÷2+6×6×π×8÷3
=144π+96π=240πcm3
(15) 0.0%!!!
難しい。
まず、Pの位置を探る必要がある。最短距離なので展開図を作成。
△OABと△OCBは合同の二等辺。
OBを対称の軸とするとAとCは対応する点だからOB⊥AC(線対称)
PB=xとすると、OP=9-x
△OPCと△BPCに三平方の定理を適用すると、
【OC2-OP2=CP2=CB2-PB2】
92-(9-x)2=62-x2
81-81+18x-x2=36-x2
18x=36
x=2
PB=2cm
三角錐O―ABCの体積を2/9倍すると三角錐P―ABCになる。
問題は三角錐の高さがどこなのか。
底面の直角二等辺ABCを正方形ABCDにして、合同な三角錐を後ろにつけると正四角錘になる。
Oの真下をHとすると、OHが三角錐に高さにあたる。
△ABCの辺の比は1:1:√2→AC=6√2cm
Hは正方形の対角線ACの中点だから、HC=6√2÷2=3√2cm
△OHCで三平方→OH=3√7cm
三角錐P―ABCの体積は、6×6÷2×3√7÷3×2/9=4√7cm3
大問2(小問集合2)
(1)ア 52.0%
1次方程式。
2点シュートをx本とすると、3点シュートは10-x本。
10-x
イ 82.4%
連立方程式。
シュートの合計本数から、x+y=10
得点の合計から、2x+3y=23
2x+3y
(2)① 28.4%!
y=1/2x2は下に凸のグラフ。
x=-2のとき、y=2
→x=a(a>0)のとき、最大値y=18になる。
18=1/2a2
a2=36
a>0より、a=6
原点を通過するので、x=0のとき、最小値y(b)=0
a=6、b=0
② 50.7%
y=1/2x2にx=-4を代入→A(-4、8)
ABの傾きは-1。Aから右に4、下に4移動して、切片は8―4=4
△AOBの面積は、4×4÷2=8cm2
(3)① 18.8%!
累積相対度数…その階級以下の相対度数の合計。
イの累積相対度数が0.70以下。
〔20~25の累積相対度数-15~20の累積相対度数=20~25の相対度数〕
20~25の相対度数は、0.07以下-0.60=0.10以下
ア=20人×0.1以下=2人以下
アにあてはまる数は0、1、2。
② 30.8%!
説明問題。
『度数』を用いるので度数に着目する。
ア+ウ=20-(1+4+7+2)=6
ア・ウがどんな数であっても、最頻値は15m以下20m未満の階級の階級値である17.5mである。
(4) 35.6%
∠ABP=30°の作図。
90-60=30°→正三角形をつくればいい。
Bから適当な長さの弧を描き(BCの長さでもいい)、
それを1辺とする正三角形を作成。Bと頂点を結んだ直線とADの交点がP。
大問3(数量変化)
(1)① 73.7%
B車は(1、4)を通る比例→y=4x
x=6を代入して、y=4×6=24
② 79.5%
x軸に燃料の使用量、y軸に走行距離をとっている。
x座標が同じだから、同じ燃料量を使ったときの距離の差。
エ
(2)a…56.5%、b…53.2%、c…48.4%、d…38.5%
A車;y=-1/10x+70 …①
B車はフル燃料で400km走るから、燃料タンクの容量は400÷4=100L
B車;y=-1/4x+100 …②(a)
①、②の連立を解く。
-1/10x+70=-1/4x+100
3/20x=30
x=200(b)
これを②に代入すると、y=-1/4×200+100=50(c)
A車は10km走ると1L消費する。
A車が200km走ったときの燃料の使用量は、200×1/10=20L(d)
a…-1/4x+100、b…200、c…50、d…20
(3) 18.4%!
説明問題。
●守(図1)
x軸に燃料の使用量、y軸に走行距離をとる。
A車;y=10x
C車は150kmで、230-170=60L使用する。
傾きは150/60=5/2→C車;y=5/2x
各々の式にy=550を代入すると、Aが55L、Cが220L。
Aの残量が70-55=15L、Cの残量が230-220=10L
A車の方が5L多い。
●香(図2)
x軸に走行距離、y軸に燃料の残量をとる。
A車;y=-1/10x+70
C車は150kmで60L使うから、傾きは-60/150=-2/5
C車;y=-2/5x+230
x=550を代入すると、Aが15L、Cが10L。
A車の方が5L多い。
大問4(規則・確率)
(1)① 86.7%
中央【1、10、19、28…】
初項1、公差9の等差数列。
5枚目の中央は、1+(5-1)×9=37
@別解@
4枚目の最後が9×4=36
その次が5枚目の中央なので37。
② 18.4%!
左上【5、14、23、32…】
初項5、公差9の等差数列。
n枚目の左上は、5+9(n-1)=9n-4
@別解@
n枚目の最後が9n、そこから4マス戻って左上は9n-4。
(2)① 74.5%
a+3=4の倍数
a=1、5の2通り。
確率は2/6=1/3
② 52.0%
分母のbで場合分け。
●b=1→c=1~6の6通り。
●b=2→c=2・4・6の3通り。
●b=3→c=3・6の2通り。
●b=4~6→cはbと同じ数しかない(1通りずつ、3通り)。
計14通り。全体は6×6=36通りだから、確率は14/36=7/18
大問5-Ⅰ(平面図形)
(1) 35.7%
△FBC∽△FDEの証明。
対頂角やAD//BCの錯角で2角相等の∽
(2)① 32.0%!
直角+(錯角→同位角)の2角相等から△AEG∽△CBD
GA:AE=DC:CB=1:2
AG=1cm
△AEGで三平方→EG=√5cm
② 0.5%!!!
台形GBFEをBEで分割する。
△AEGの面積を①とすると、AG:GB=1:2から△GEB=②
AE:ED=1:2から△EDB=△AEB×2=⑥
△BCF∽△DEFより、BF:FD=3:2
△BEFの面積は、⑥×3/5=〇18/5
△ADBの面積は、6×3÷2=9cm2=⑨
〇がそのまま面積に値する。
台形GBFEの面積は、②+〇18/5=〇28/5=28/5cm2
大問5-Ⅱ(平面図形)
(1) 86.7%
△FBC∽△FDEの証明。
大問5-Ⅰの証明と同様、対頂角や錯角で2角が等しい点を指摘する。
(2)① 54.3%
60°を錯角であげ、同位角で∠DEF=∠EAHに移す。
∠EAH=180-(60+a)=(120-a)°
② 1.0%!!!
AE:ED=②:③とおく。
BG:GC=3:1から、BG=⑥
四角形EHIFの面積比は△BHIと△BEFの隣辺比から算出する。
HG//ECより、BH:HE=BI:IF=BG:GC=3:1
隣辺比で△BHI:△BEF=BH×BI:BE×BF=3×3:4×4=⑨:⑯
四角形EHIF=⑯-⑨=⑦
次に、四角形ABCDの面積比を求める。
△BCF∽△DEFより、BF:FD=8:3
△BED=△BEF(⑯)×11/8=㉒
四角形ABCD=㉒×⑬/③=〇286/3
四角形ABCD:四角形EHIF=〇286/3:⑦=286:21
→21/286倍
大問1
(6)小数や分数のままでうまくいくこともある。
(10)詰まりやすい。
とりあえず因数分解して2数の積の形にする。
2数の積が素数になるのは、素数×1=素数しかない。
『すべて求めよ』ということはnは複数ある可能性が高い。負の組み合わせを想起する。
(13)平行線を使って△BCQと同じ形を作る。正三角形の中に正三角形ができる。
(15)①高さの比と②三角錐O―ABCの体積の2段を乗り越える必要がある。
三角錐の高さが難しい。迷ったら後回しにする。
大問2
点を積み重ねやすい。
(3)①20-25mの相対度数は0.10以下。0.10の度数を求める。
②ア+ウが7未満であると指摘すればいい。
大問3
(2)誘導に従う。前半は確実にあてたい。
d香のy軸は残量なので、消費量は切片との差になる。
(3)軸の内容をグラフに書いておいた方が良いかも。
きちんとグラフの意味を理解しないと答えにたどり着けない。
大問4
いずれも標準レベル。
大問5―Ⅰ
昨年は関数であったが、平面図形に戻った。
2019(空間)→2020(平面)→2021(関数)→2022(平面)→2023(関数)→2024(平面)
(2)②
長方形の辺を頼りに△GEB:△EDB=②:⑥が出る。
△EDBを分割するには、どこの相似に注目すべきか。
大問5―Ⅱ
(2)②Ⅱは上位校だと思うので、隣辺比のテクニックは身に着けておきたい。
公立高校入試の難問でいくらか見かける。
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コメント
こんにちは。先ほど、サボ先生に投稿しようとしましたが、画像認証が間違いとの表示が何度も出て、送れませんでした。この画像認証文字を減らしてもらえますと嬉しく思います。宜しくお願いします。
これより、秋田県の公立高校の最後の図形の問題について、連比を用いた別解を考えました。ご教示いただけますと嬉しく思います。
[別解]
△FDE=3Sとすると、EF:FC=3:8より、△FCD=8Sである。また、DF:FB=3:8より、8S:△FBC=3:8→△FBC=64S/3である。次に、AH:HIの比を連比を用いて求めたい。線分AG上に、左から順に点H、点Iをとる。AI:IG=5:6=5✕8:6✕8=40:48
また、AH:HG=2:6=2✕11:6✕11=22:66
よって、AH:HI:IG=22:18:48である。‥‥① また、線分BD上に、左から順に点I、点Fをとる。BI:ID=6:5、
BF:FD=8:3より、BI:IF:FD=6:2:3である。よって、IF:FD=2:3より、△FDE=3Sより、△EIF=2Sとなる。また、△IDE:△IEA=3:2より、5S:△IEA=3:2
よって、△IEA=10S/3である。ここで、①より、AH:HI=22:18より、
△EHI=10S/3✕18/40=6S/4=3S/2
ここで、□HIFE=△IFE+△EHIより、
□HIFE=2S+3S/2=7S/2である。
また、△IDA=5S+10S/3=25S/3である。また、BI:ID=6:5より、△IAB:△IDA=6:5→△IAB:25S/3=6:5
よって、△IAB=10Sである。
□HIFE÷台形ABCを
=7S/2÷(8S+64S/3+25S/3+10S)
=7S/2÷(24S+64S+25S+30S/3)
7/S/2÷143S/3=7S/2✕3/143S
=21/286(倍) 答え 21/286倍
以上ですが、サボ先生の解法は素晴らしく、私の別解は、連比の使い方を知る上での参考になればと思い、投稿させていただきました。最後の問題は、あとにして、他の問題を確実に解く方が良いかと思います。この問題の正答率は、かなり低いのではと思います。尚、私の解法について、サボ先生のご教示をいただけますと有り難く存じます。これからも宜しくお願いします。お助けマンより。
コメントありがとうございます。
画像認証は仕様なのです。お手数かけますが、本文をテキストファイルに一時保存してください。
チョウチョウが複数みえるので連比でも解けますね。いろいろな持ち込み方がある問題だと思います。
おはようございます。早速のご教示、ありがとうございます。画像認証の件、了解しました。ありがとうございます。
それと、サボ先生のおっしゃるように、チョウチョウが見えた時に、私はよく「連比」を用いて、図形の面積比の問題を解いています。らららら学習室でも、生徒の質問に対して、この連比の活用も話題にしています。中学受験では、この連比は、定番の問題も多く、今回の秋田県の公立高校入試数学の面積比にも使えるかと思い、解いてみました。比較的短時間で解けました。これからも宜しくお願いします。お助けマンより。