2024年度　秋田県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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大問１（小問集合）

*15問の中から指示された８問を解答する。
（１）
６－２×５
＝６－10
＝－４

（２）
５（ｘ＋２ｙ）－２（４ｘ－ｙ）
＝５ｘ＋10ｙ－８ｘ＋２ｙ
＝－３ｘ＋12ｙ

（３）
90＝２×３²×５

（４）
１/３ｘ²ｙ³÷２ｘｙ
＝１/６ｘｙ²　←代入
＝１/６×３×（－２）²←（－２）²＝４
＝２

（５）
√32－√50＋√27
＝４√２－５√２＋３√３
＝－√２＋３√３

（６）
0.8ｘ＋４＝1.5ｘ－0.9
0.7ｘ＝4.9
ｘ＝７
（*10倍して整理してもいい）

（７）
２ｘ－ｙ＝７　…①
５ｘ＋３ｙ＝１　…②
①×３＋②をすると、11ｘ＝22
ｘ＝２
①に代入、２×２－ｙ＝７
ｙ＝－３
ｘ＝２、ｙ＝－３

（８）
ｘ²－２ｘ＝24
ｘ²－２ｘ－24
＝（ｘ＋４）（ｘ－６）＝０
ｘ＝－４、６

（９）
データを昇順にする。【５、９、９、13、14、15、16、17、20】
９人の中央値は５番目→14
第１四分位数は下位４人の真ん中、下から２番目と３番目の平均→９（ａ）
第３四分位数は上位４人の真ん中、上から２番目と３番目の平均→16.5（ｂ）
ａ＝９、ｂ＝16.5

（10）
最初は因数分解をしてみる。
ｎ²－20ｎ＋91
＝（ｎ－13）（ｎ－７）＝素数

素数は１と自身しか約数をもたない数。
（ｎ－13）と（ｎ－７）をかけあわせた数が素数になる→いずれかが１である。
*１×素数＝素数
●ｎ－13＝１
ｎ＝14を代入すると、（14－13）×（14－７）＝７で素数〇
●ｎ－７＝１
ｎ＝８を代入すると、（８－13）×（８－７）＝－５で素数にならない×
*素数は自然数だけである。

…ここで終わりたくなるが、（ｎ－13）と（ｎ－７）がともに負だと素数になる可能性がある！
*－１×（－素数）＝素数
●ｎ－13＝－１
ｎ＝12を代入すると、（12－13）×（12－７）＝－５で×
●ｎ－７＝－１
ｎ＝６を代入すると、（６－13）×（６－７）＝７で〇
ｎ＝６、14

（11）

68°を同位角でおろす。
赤線で外角定理→ｘ＝68－25＝43°

（12）

弧ＡＤの円周角より、∠ＡＢＤ＝53°
直径ＢＤに対する円周角→∠ＢＡＤ＝90°
∠ＢＡＣ＝90－28＝62°
赤線で外角定理→ｘ＝53＋62＝115°

（13）

ＣＱを１辺とする△ＢＣＱと相似にある三角形が欲しい。
そこで、Ｐを通るＣＱに平行な線をひき、ＣＤとの交点をＲとする。
同位角で∠ＱＣＲ＝∠ＰＲＤ＝60°
△ＰＲＤはすべての内角が60°で正三角形→１辺の長さは７－３＝４ｃｍ
△ＢＣＱ∽△ＢＲＰより、ＣＱ＝４×７/10＝14/５ｃｍ

（14）

回転体はアイスクリーム。
アイスは半径６ｃｍの半球。【球の体積Ｖ＝４/３πｒ³】
△ＯＢＣで三平方→辺の比は３：４：５でＯＣ＝８ｃｍ
回転体の体積は、４/３π×６³÷２＋６×６×π×８÷３
＝144π＋96π＝240πｃｍ³

（15）
難しい。

まず、Ｐの位置を探る必要がある。最短距離なので展開図を作成。
△ＯＡＢと△ＯＣＢは合同の二等辺。
ＯＢを対称の軸とするとＡとＣは対応する点だからＯＢ⊥ＡＣ（線対称）

ＰＢ＝ｘとすると、ＯＰ＝９－ｘ
△ＯＰＣと△ＢＰＣに三平方の定理を適用すると、
【ＯＣ²－ＯＰ²＝ＣＰ²＝ＣＢ²－ＰＢ²】
９²－（９－ｘ）²＝６²－ｘ²
81－81＋18ｘ－ｘ²＝36－ｘ²
18ｘ＝36
ｘ＝２
ＰＢ＝２ｃｍ
三角錐Ｏ―ＡＢＣの体積を２/９倍すると三角錐Ｐ―ＡＢＣになる。

問題は三角錐の高さがどこなのか。
底面の直角二等辺ＡＢＣを正方形ＡＢＣＤにして、合同な三角錐を後ろにつけると正四角錘になる。
Ｏの真下をＨとすると、ＯＨが三角錐に高さにあたる。
△ＡＢＣの辺の比は１：１：√２→ＡＣ＝６√２ｃｍ
Ｈは正方形の対角線ＡＣの中点だから、ＨＣ＝６√２÷２＝３√２ｃｍ
△ＯＨＣで三平方→ＯＨ＝３√７ｃｍ
三角錐Ｐ―ＡＢＣの体積は、６×６÷２×３√７÷３×２/９＝４√７ｃｍ³

大問２（小問集合２）

（１）ア
１次方程式。
２点シュートをｘ本とすると、３点シュートは10－ｘ本。
10－ｘ

イ
連立方程式。
シュートの合計本数から、ｘ＋ｙ＝10
得点の合計から、２ｘ＋３ｙ＝23
２ｘ＋３ｙ

（２）①
ｙ＝１/２ｘ²は下に凸のグラフ。
ｘ＝－２のとき、ｙ＝２
→ｘ＝ａ（ａ＞０）のとき、最大値ｙ＝18になる。
18＝１/２ａ²
ａ²＝36
ａ＞０より、ａ＝６
原点を通過するので、ｘ＝０のとき、最小値ｙ（ｂ）＝０
ａ＝６、ｂ＝０

②

ｙ＝１/２ｘ²にｘ＝－４を代入→Ａ（－４、８）
ＡＢの傾きは－１。Ａから右に４、下に４移動して、切片は８―４＝４
△ＡＯＢの面積は、４×４÷２＝８ｃｍ²

（３）①

累積相対度数…その階級以下の相対度数の合計。
イの累積相対度数が0.70以下。
〔20～25の累積相対度数－15～20の累積相対度数＝20～25の相対度数〕
20～25の相対度数は、0.07以下－0.60＝0.10以下
ア＝20人×0.1以下＝２人以下
アにあてはまる数は０、１、２。

②
説明問題。
『度数』を用いるので度数に着目する。
ア＋ウ＝20－（１＋４＋７＋２）＝６
ア・ウがどんな数であっても、最頻値は15ｍ以下20ｍ未満の階級の階級値である17.5ｍである。

（４）
∠ＡＢＰ＝30°の作図。

90－60＝30°→正三角形をつくればいい。
Ｂから適当な長さの弧を描き（ＢＣの長さでもいい）、
それを１辺とする正三角形を作成。Ｂと頂点を結んだ直線とＡＤの交点がＰ。

大問３（数量変化）

（１）①
Ｂ車は（１、４）を通る比例→ｙ＝４ｘ
ｘ＝６を代入して、ｙ＝４×６＝24

②
ｘ軸に燃料の使用量、ｙ軸に走行距離をとっている。
ｘ座標が同じだから、同じ燃料量を使ったときの距離の差。
エ

（２）

Ａ車；ｙ＝－１/10ｘ＋70　…①
Ｂ車はフル燃料で400ｋｍ走るから、燃料タンクの容量は400÷４＝100Ｌ
Ｂ車；ｙ＝－１/４ｘ＋100　…②（ａ）

①、②の連立を解く。
－１/10ｘ＋70＝－１/４ｘ＋100
３/20ｘ＝30
ｘ＝200（ｂ）
これを②に代入すると、ｙ＝－１/４×200＋100＝50（ｃ）
Ａ車は10ｋｍ走ると１Ｌ消費する。
Ａ車が200ｋｍ走ったときの燃料の使用量は、200×１/10＝20Ｌ（ｄ）
ａ…－１/４ｘ＋100、ｂ…200、ｃ…50、ｄ…20

（３）
説明問題。
●守（図１）

ｘ軸に燃料の使用量、ｙ軸に走行距離をとる。
Ａ車；ｙ＝10ｘ
Ｃ車は150ｋｍで、230－170＝60Ｌ使用する。
傾きは150/60＝５/２→Ｃ車；ｙ＝５/２ｘ

各々の式にｙ＝550を代入すると、Ａが55Ｌ、Ｃが220Ｌ。
Ａの残量が70－55＝15Ｌ、Ｃの残量が230－220＝10Ｌ
Ａ車の方が５Ｌ多い。

●香（図２）

ｘ軸に走行距離、ｙ軸に燃料の残量をとる。
Ａ車；ｙ＝－１/10ｘ＋70
Ｃ車は150ｋｍで60Ｌ使うから、傾きは－60/150＝－２/５
Ｃ車；ｙ＝－２/５ｘ＋230
ｘ＝550を代入すると、Ａが15Ｌ、Ｃが10Ｌ。
Ａ車の方が５Ｌ多い。

大問４（規則・確率）

（１）①

中央【１、10、19、28…】
初項１、等差９の等差数列。
５枚目の中央は、１＋（５－１）×９＝37

＠別解＠
４枚目の最後が９×４＝36
その次が５枚目の中央なので37。

②
左上【５、14、23、32…】
初項５、等差９の等差数列。
ｎ枚目の左上は、５＋９（ｎ－１）＝９ｎ－４

＠別解＠
ｎ枚目の最後が９ｎ、そこから４マス戻って左上は９ｎ－４。

（２）①
ａ＋３＝４の倍数
ａ＝１、５の２通り。
確率は２/６＝１/３

②
分母のｂで場合分け。
●ｂ＝１→ｃ＝１～６の６通り。
●ｂ＝２→ｃ＝２・４・６の３通り。
●ｂ＝３→ｃ＝３・６の２通り。
●ｂ＝４～６→ｃはｂと同じ数しかない（１通りずつ、３通り）。
計14通り。全体は６×６＝36通りだから、確率は14/36＝７/18

大問５－Ⅰ（平面図形）

（１）
△ＦＢＣ∽△ＦＤＥの証明。

対頂角やＡＤ//ＢＣの錯角で２角相等の∽

（２）①

直角＋（錯角→同位角）の２角相等から△ＡＥＧ∽△ＣＢＤ
ＧＡ：ＡＥ＝ＤＣ：ＣＢ＝１：２
ＡＧ＝１ｃｍ
△ＡＥＧで三平方→ＥＧ＝√５ｃｍ

②

台形ＧＢＦＥをＢＥで分割する。
△ＡＥＧの面積を①とすると、ＡＧ：ＧＢ＝１：２から△ＧＥＢ＝②
ＡＥ：ＥＤ＝１：２から△ＥＤＢ＝△ＡＥＢ×２＝⑥

△ＢＣＦ∽△ＤＥＦより、ＢＦ：ＦＤ＝３：２
△ＢＥＦの面積は、⑥×３/５＝〇18/５

△ＡＤＢの面積は、６×３÷２＝９ｃｍ²＝⑨
〇がそのまま面積に値する。
台形ＧＢＦＥの面積は、②＋〇18/５＝〇28/５＝28/５ｃｍ²

大問５－Ⅱ（平面図形）

（１）
△ＦＢＣ∽△ＦＤＥの証明。
大問５－Ⅰの証明と同様、対頂角や錯角で２角が等しい点を指摘する。

（２）①

60°を錯角であげ、同位角で∠ＤＥＦ＝∠ＥＡＨに移す。
∠ＥＡＨ＝180－（60＋ａ）＝（120－ａ）°

②

ＡＥ：ＥＤ＝②：③とおく。
ＢＧ：ＧＣ＝３：１から、ＢＧ＝⑥
四角形ＥＨＩＦの面積比は△ＢＨＩと△ＢＥＦの隣辺比から算出する。
△ＢＧＨ∽△ＥＡＨより、ＢＨ：ＨＥ＝３：１
ＩＧ//ＦＣから、ＢＩ：ＩＦ＝ＢＧ：ＧＣ＝３：１

隣辺比で△ＢＨＩ：△ＢＥＦ＝ＢＨ×ＢＩ：ＢＥ×ＢＦ＝３×３：４×４＝⑨：⑯
四角形ＥＨＩＦ＝⑯－⑨＝⑦

次に、四角形ＡＢＣＤの面積比を求める。

△ＢＣＦ∽△ＤＥＦより、ＢＦ：ＦＤ＝８：３→△ＢＥＤ＝△ＢＥＦ（⑯）×11/８＝㉒
四角形ＡＢＣＤ＝㉒×⑬/③＝〇286/３
四角形ＡＢＣＤ：四角形ＥＨＩＦ＝〇286/３：⑦＝286：21
→21/286倍
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