大問１（小問集合）
（１）
－３－（－４）
＝－３＋４
＝１
（２）
（－６ａｂ）×２/３ｂ
＝－４ａｂ2
（３）
５（ａ－２ｂ）＋４（２ａ＋ｂ）
＝５ａ－10ｂ＋８ａ＋４ｂ
＝13ａ－６ｂ
（４）
（３＋√２）（３－√２）
＝３2－（√２）2
＝７
（５）
（ｘ＋３）2＝７ｘ＋15
ｘ2＋６ｘ＋９＝７ｘ＋15
ｘ2－ｘ－６
＝（ｘ＋２）（ｘ－３）＝０
ｘ＝－２、３
（６）
２≦ｎ≦20 ←２倍して＋１
５≦２ｎ＋１≦41
根号を外すには、２ｎ＋１が（３×平方数）であればいい。
奇数×奇数＝奇数
奇数３×平方数＝奇数２ｎ＋１から、平方数は奇数の平方数である。
範囲内にある２ｎ＋１を調べる。
３×１2＝３×
３×３2＝27〇
３×５2＝75×
２ｎ＋１＝27
ｎ＝13
（７）
立面図…正面から見た図。平面図…真上から見た図。
ア：立方体、イ：三角柱、ウ：四角錐、エ：三角錐
ウ
（８）
ア：ｙ＝30ｘ（比例）
イ：ｘｙ/２＝20→ｙ＝40/ｘ（反比例）
ウ：ｘｙ＝100→ｙ＝100/ｘ（反比例）
エ：ｙ＝２πｘ（比例）
イ・ウ
（９）
４辺が等しい四角形→菱形の定義
正方形は４辺が等しく、かつ４つの角が等しい四角形。
解答は１つの内角が90°にならないような斜め線で菱形をつくればいい。
＠＠
これは直角になるのでダメな例×
（10）
12の約数で場合分け。
●１→×
●２→（１、１）
●３→（１、２）（２、１）
●４→（１、３）（３、１）（２、２）
●６→（１、５）（５、１）（２、４）（４、２）（３、３）
●12→（６、６）
計12通り。全体は６×６＝36通りだから確率は12/36＝１/３
（11）
Ａを通るＢＣの垂線をひき、交点にＨと記す。
大問２（方程式）
（１）①
１つ目は商品の個数の合計で等式。
２つ目は焼き鳥の本数の合計で等式。
ｘ＋ｙ＝160 …①
３ｘ＋５ｙ＝700 …②
②
②－①×３をすると、２ｙ＝220
ｙ＝110
①に代入、ｘ＝160－110＝50
商品Ａ…50個、商品Ｂ…110個
（２）①
不定方程式。
３と５の最小公倍数は15。
３ａ＝５ｂ＝15
ａ５個とｂ３個を交換していく。
（19、１）からａは－５、ｂは＋３すると、
（ａ、ｂ）＝（19、１）（14、４）（９、７）（４、10）
４個
②
先ほどの４個のなかで、ａ＋ｂの和が最小の組み合わせは（４、10）
商品Ａ…４個、商品Ｂ…10個
大問３（データの活用）
（１）
第３四分位数（Q3）が最も大きいのは2010年。〇
ア
（２）
2010年
理由…四分位範囲を示す箱の長さは2015年より2010年の方が長いから。
*四分位範囲＝第３四分位数（Q3）－第１四分位数（Q1）
箱ひげ図でいう箱の長さにあたり、全データの真ん中に集まる約半数のデータの散らばり度合いを示す。
（３）
ア：2015年には30.0～30.5ｋｇの階級がない。×
イ：最頻値を含む階級の階級値は、2020年の29.75ｋｇの方が大きい。〇
ウ：47個の中央値は24番目の値で、どちらも29.0～29.5ｋｇの階級にあるが度数は違う。×
エ：累積相対度数はその階級までの相対度数の合計。
いずれも全体は47個で分母が等しいから、分子にあたる度数の合計（累積度数）を比較すればいい。
2015年は９個、2020年は６個だから、2015年の方が28.0～28.5ｋｇの累積相対度数が大きい。〇
イ・エ
（４）
あ…複数の箱ひげ図を並べることで、複数のデータの分布を一度に比較しやすい。
一方で、箱ひげ図は各々のデータの分布を詳細に読むことはできない。
い…箱ひげ図から最小値・最大値と四分位数はわかるが、最頻値は読み取りにくい。
う…ヒストグラムは最頻値や分布の形は読み取りやすいが、
最大値と最小値は曖昧で、範囲＝最大値－最小値の詳細はつかめない。
オ
大問４（関数）
（１）
ａ＞０だから下に凸のグラフ。
Ⅰ：原点を通過するので、ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０（０≦ｙ≦４ａ）×
Ⅱ：ｙ＝ａｘ2においてｘの値がｐ→ｑに増加するときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）
ｐとｑの値によって変化の割合は変わる。×
Ⅲ：ｙ軸について対称。〇
ウ
（２）
Ａ（ｔ、１/６ｔ2）
ＢはＡとｘ座標が同じ→Ｂ（ｔ、１/２ｔ2）
ＣはＢとｙ座標が同じだから、１/２ｔ2
（３）
Ａ・Ｃはｙ＝１/６ｘ2上の点。
Ａ→Ｃはｙ座標が１/２ｔ2÷１/６ｔ2＝３倍になっている。
『ｙはｘの２乗に比例する』
ｙの値が３倍になるとｘ2も３倍→ｘの値は√３倍
あ…３、い…√３
（４）
Ａのｘ座標を１、ｙ座標を１とする。
前問より、Ｃのｘ座標は√３、ｙ座標は３。
Ｃ→ＥもＡ→Ｃと同じ理由でｙ座標は３倍、ｘ座標は√３倍されるからＥ（３、９）
Ｅ→Ｇも同様で、Ｇ（３√３、27）
ｙの値を３倍すると、縦の長さ（ｙ座標の差）も３倍になる。
ｘの値を√３倍すると、横の長さ（ｘ座標の差）も√３倍になる。
ＡＢ＝２→ＣＤ＝６→ＥＦ＝18
ＢＣ＝（√３－１）→ＤＥ＝√３（√３－１）→ＦＧ＝３（√３－１）
△ＡＢＣの縦を３×３＝９倍、横を√３×√３＝３倍すると△ＥＦＧだから、
面積は９×３＝27倍
＠余談＠
Ａ座標を原点に寄せるとこんな感じ。
大問５（平面図形）
（１）
ＢＥ＝４÷２＝２ｃｍ
△ＡＢＥで三平方→ＡＥ＝２√５ｃｍ
（２）
△ＡＨＦ∽△ＥＨＣの証明。
対頂角より、∠ＡＨＦ＝∠ＥＨＣ
ＡＣとＡＦが正方形の対角線であることに着目する。
△ＡＥＦと△ＡＢＣは直角二等辺三角形だから、∠ＡＦＨ＝∠ＥＣＨ＝45°
２角相等で∽
（３）
先ほどの45°がヒントになる。
線分ＡＥについてＣ・Ｆが同じ側にあって、∠ＡＣＥ＝∠ＡＦＥだから、
円周角定理の逆より４点Ａ・Ｅ・Ｃ・Ｆは同一円周上にある。
∠ＡＣＦ＝∠ＡＥＦ＝90°
（円の直径はＡＦ。Ｇも同じ円周上にある）
（４）
△ＡＢＥと△ＡＣＦにおいて、∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＦ＝90°
∠ＢＡＥ＝45°－∠ＥＡＣ＝∠ＣＡＦ（●）から２角相等で∽
△ＡＢＣは直角二等辺→相似比はＡＢ：ＡＣ＝１：√２
△ＡＢＥの各辺を√２倍すると、△ＡＣＦの辺の長さが求まる。
ＡＨ：ＨＣが知りたい。
△ＡＥＦと△ＣＥＦは底辺ＥＦが共通だから、高さの比ＡＨ：ＨＣが面積比に相当する。
そして、四角形ＡＥＣＦは円に内接する四角形で対角の和は180°だから、
∠ＥＡＦ＋∠ＥＣＦ＝180°
和が180°のときも隣辺比が使える！
ＡＨ：ＨＣ＝△ＡＥＦ：△ＣＥＦ＝（ＡＥ×ＡＦ）：（ＣＥ×ＣＦ）
＝（２√５×２√10）：（２×２√２）＝20√２：４√２＝⑤：①
ＣＨ＝４√２×①/⑥＝２√２/３ｃｍ
（５）
半円の弧に対する円周角は90°
各円の直径はＡＦ・ＨＦで、それぞれの中点が中心Ｐ・Ｑである。
ＡＨ＝４√２－２√２/３＝10√２/３ｃｍ
△ＡＦＨで中点連結定理を適用→ＰＱ＝10√２/３÷２＝５√２/３ｃｍ
●講評●
大問１
（６）大問１で最も正答率が悪い。
根号を外すにはカッコ内の２ｎ＋１がどのような数であればいいか。
範囲が５以上41以下と幅が広い。２ｎ＋１⇒奇数から偶奇判定で絞り込む。
（８）反比例はｘｙ＝〇の形の方が判別しやすい。
（９）正方形は特別な菱形といえる。
大問２
（２）①公立高校入試の世界でも不定方程式はたびたび登場する。
どこかで触れておきたい。
３・５は互いに素→５個と３個で交換。
出だしの（19、１）が出ているのがありがたかった。
②前問を乗り越えたら取りやすい。
大問３
（３）ウ：同じ階級に含まれるがその度数が違う。
エ：相対度数は割合なので、合計＝分母が等しければ度数＝分子のみで大小関係が決まる。
（４）２種類のグラフの性質を問う。改めて整理しておきたい。
大問４
本試験の目玉はここだと思う。
（１）からハードルがやや高い。Ⅰは最小値ａが誤り。
（３）問題はｘ。
ｙ＝ａｘ2はａが定数。ｙとｘ2が比例関係なので、ｙが３倍＝ｘ2が３倍。
（４）今度はＣ（ｔ、１/６ｔ2）とおくとＥ（√３ｔ、１/２ｔ2）となり、
Ａ→Ｂ→Ｃ、Ｃ→Ｄ→Ｅ、Ｅ→Ｆ→Ｇはｘ座標が√３倍、ｙ座標が３倍で等しい。
座標は原点からの距離。座標を〇倍すると、座標間の距離（差）も〇倍。
*２からスタートして３倍する。２→６→18→54。差は４→12→36で３倍になっている。
大問５
（３）前問の45°を利用。
（４）実力差が出る。
Ｈが右側にあるので、図形の右側の辺の長さを求める。
前問の直角＆（45°－あいだの角）で２角相等の相似。
円に内接する四角形ＡＥＣＦより、外角はそれと隣り合う内角の対角に等しい点に着目して、
∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＣと指摘してもいい。
（１）で三平方をした△ＡＢＥの３辺を√２倍すれば△ＡＣＦの３辺が出せる。
ＡＣ＝４√２ｃｍだからＡＨ：ＨＣがわかればいい。
対角線の交点Ｈをどう扱うか。隣辺比を心得ておくと見えやすい。
△ＡＨＦ∽△ＥＨＣ→ＡＨ：ＥＨ＝√10：１
△ＡＨＥ∽△ＦＨＣ→ＥＨ：ＣＨ＝√５：√２
ＨＣ＝１×√２/√５＝√10/５
ＡＨ：ＨＣ＝√10：√10/５＝５：１でもＯＫ
（５）見た目ほど処理量はない。
Ｐ・Ｑの位置を定める。ＡＦとＨＦの中点→中点連結定理を使うべきは△ＡＦＨ
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