2018年度 茨城県公立高校入試【数学】解説

平均51.4点
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)-9+4=-5

(2)(-4)×(-5)+2×(-32) ←(-3)2=9じゃないよ!
=20-18=2

(3)1/8-(-3/10)÷6/5
=1/8+1/4=3/8

(4)4(2x-3y)+3(-x+4y)
=8x-12y-3x+12y
=5x

(5)√45-5/√5
=3√5-√5
=2√5
ここまでで20点ゲット(ง `ω´)ง

大問2(計算2)

(1)x2-9x+8
=(x-1)(x-8)

(2)連立方程式
5x+y=7
2x-y=7 で連立を組む。

(3)因数分解ができないので解の公式。
xの係数が偶数なので、b=2b’が使える。

(4)不等式
未満だから=は含まず。

(5)式を整理しよう。
(x+y)2-(x-y)2
全体をみると・・2-b2=(a+b)(a-b)が使えますね。
(x+y)2-(x-y)2
(x+y+x-y)(x+y-x+y)
=2x・2y=4xy=4√6
計20点。大問1とあわせて40点ももらえる。

大問3(小問集合)

(1)角度
△ABEの内角から、∠EAB=180-(78+42)=60°
弧BD:弧DE=2:1なので、∠BAD:∠EAD=2:1
∠BAD=60×2/3=40°

(2)一次方程式
昨日のショートケーキ1個の値段をx円とおく。
昨日の売り上げ:200x
今日の売り上げ:(x-30)×200×120/100
以上から方程式を組む。
200x+5400=(x-30)×200×120/100
これを解いて、x=315 → 315円

(3)確率
√abが自然数になる→abの積が平方数
ab=1、4、9、16、25、36(サイコロの目は6までなので、6×6=36まで
組み合わせは(1、1)(1、4)(4、1)(2、2)(3、3)(4、4)(5、5)(6、6)の8通り。
全体は6×6=36通りなので、8/36=2/9

大問4(関数)

(1)
A座標は(2、4)
これを、y=a/xに放り込み。
4=a/2  a=8

(2)
∠BPC=2∠BOCと、奇妙な角度の関係性が与えられている。
とりあえず、∠BPC=②、∠BOC=①と書いておく。
△OPCに注目

↑△OPCの外角定理から、∠PCOも①となる。
底角が等しいから、△OPCは二等辺三角形
Pからx軸に平行な横線をひくと、y軸との交点はOCの中点となる。
二等辺三角形の頂角を通り、底辺に垂直な線分は底辺を2等分するため
C(0、-5)なので、OCの中点座標は(0、-5/2)
Pのy座標も-5/2。
BO:y=2xだから、これに代入すると、
P(-5/4、-5/2)



大問5(平面図形)

(1)合同図形の証明
等しいところにササッと記号を記入。
各々の三角形は、1辺と両端角で等しいですね!
詳しくは、公式解答を参照。

(2)HG//BCなので、問題文の図と異なる。
空きスペースに書いてみる。

↑問題文の情報を漏れなく記載

BD:DC=1:2から、AE:EC=1:2
AF:FD=1:1から、AG:GC=1:1
すると、△2=③となるので、共通の比になおす。


AE:EG:GC=2:1:3となる。
材料がそろったので計算。
△ABC全体を1とおくと、
△EDC=1 ×(②×②)/(③×③)=4/9
△EDC内で、△EIGは(□1×□1)/(□4×□4)=1/16
四角形IDCGは、△EDCの15/16だから、
4/9×15/16=5/12  → 5/12倍

大問6(数量変化)

(1)A市の10~20m3までは、1m3 あたり150円↑
この間のグラフの式を求めておく。
傾きは150。
切片はy=ax+bにあてはめてもよいが、
グラフを延長するとy軸で-500のところにぶつかる(左に2いくと下に3下がる
よって、y=150x-500
x=17を代入。
y=150×17-500=2050円

(2)B市もグラフに表してみる。

あとは表3にあわせて、A市とB市の合計の差を算出。
かなり面倒くさそうにみえるが、よ~く表とグラフをみてみよう。
表の使用量は、6月を除いて20~30m3の範囲内
この範囲はA市とB市でグラフの傾きが変わらない
そして、25m3でA市とB市の水道料金が等しくなる
これを念頭に表を見てみよう。
 
1月は25m3なので、A市とB市での差は±0。
2月と3月を一体して考えると、20は25から-5で、30は25から+5だから、
2・3月をあわせたA・Bの合計の差はゼロ
同様に、4・5月は28と22の平均が25だから、こちらも±0.。
6月は32m3で、30m3以降はA市とB市の傾きが200で平行となり、差はどこも500
よって、1~6月の合計を比べた場合、B市の方が500円安くなる。
 
全部の値をいちいち求めていたら時間がつぶれ、ケアレスも発生しやすい。
求める答えはAとBの合計の
25で両者が同じ。
そこからの差の平均がプラマイゼロの組み合わせを選んで相殺すれば、
ショートカットできますね!



大問7(資料問題)

(1)統計の基礎
ア:階級の幅はいずれも5。
イ:モードは一番数が多いところ。
ウ:40-45mがいる、2年1組。
エ:15m未満はどちらも5人だが、1組は29名に対して2組が31名。
分母が異なるので割合も異なる。

(2)メジアン(中央値)の処理
31名のメジアン、つまり、ど真ん中の値は、
(31+1)÷2=16人目
欠席者は16mと19mなので、図1の15~20に2つ追加
下から順に数えていくと、16人目は20~25の階級にあたる。
5÷31=0.161・・ → 0.16

大問8(空間図形)

(1)求めるのは体積ではなく、表面積ですよ(#-∀-)
△OABは1辺が8cmの正三角形。その高さは4√3。
よって、8×8+8×4√3×1/2×4=64+64√3cm3

(2)どこで三平方をとるか。
ACとDBの交点、つまり、底面積である正方形のどまんなかをHとおく。
このとき、∠EHFは直角になる。
なぜなら、正方形の対角線は垂直に交わり、
二等辺三角形ODBは線分ACと垂直に交わるから、
面ODB上にある辺EHも線分ACに対して垂直に交わる。
△EFHで三平方

EHの長さも△ODBで考えよう
中点連結定理から、すぐ4cmとでる。
△EFHで三平方の定理。
EF=√(42+3√22
=√34cm
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