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2025年度埼玉(学校選択)数学の解説はコチラ。
大問１（小問集合）
（１）
－４ｘ＋７ｘ
＝３ｘ
（２）
（－２）×（－５）－６
＝10－６
＝４
（３）
48ｘｙ2÷３ｘ÷８ｙ
＝２ｙ
（４）
２ｘ＋12＝－３ｘ－８
５ｘ＝－20
ｘ＝－４
（５）
21/√７－√28
＝３√７－２√７
＝√７
（６）
ｘ2－13ｘ＋40
＝（ｘ－５）（ｘ－８）
（７）
３ｘ－７ｙ＝５ …①
５ｘ－２ｙ＝－11 …②
①×５－②×３をすると、－29ｙ＝58
ｙ＝－２
②に代入、５ｘ＋４＝－11
ｘ＝－３
ｘ＝－３、ｙ＝－２
（８）
２ｘ2－ｘ－９＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（１±√73）/４
（９）
反比例の比例定数ａは積ｘｙ
ａ＝３×４＝12
ｙ＝12/ｘ
（10）
弧ＣＤに対する円周角より、∠ＣＢＤ＝22°
△ＢＰＤで外角定理→ｘ＝57－22＝35°
（11）
ア：21人の中央値は（21＋１）÷２＝11番目の値で66。〇
イ：第１四分位数は下位10人の真ん中、下から５番目と６番目の平均で54。〇
ウ：第３四分位数は上位10人の真ん中、上から５番目と６番目の平均で76。×
エ：範囲＝最大値－最小値＝90－45＝45。〇
ウ
（12）
Ｏの真下をＨとすると、Ｈは正方形ＡＢＣＤの対角線の交点である。
直角二等辺ＡＢＣの辺の比は１：１：√２→ＡＣ＝６√２ｃｍ
ＨはＡＣの中点→ＡＨ＝３√２ｃｍ
ＯＡ：ＡＨ＝12：３√２＝④：〇√２
△ＯＡＨの辺の比で三平方→ＯＨ＝〇√14
ＯＨ＝12×〇√14/④＝３√14ｃｍ
正四角錘の体積は、６×６×３√14÷３＝36√14ｃｍ3
（13）
全体は５×４＝20通り
ｘ/ｙ≦２/３となる組み合わせを求める。
分母のｙで場合分け。
●ｙ＝２→ｘ＝１
●ｙ＝３→ｘ＝１～２
●ｙ＝４→ｘ＝１～２
●ｙ＝５→ｘ＝１～３
（*通分して大小を比較すればいい。
サボは２/３＝66.6…％と百分率に換算して、３/４＝75％×、３/５＝60％〇と判断した）
計８通り、確率は８/20＝２/５
（14）
Ｂから垂線をおろし、ＯＡとの交点をＨとする。
△ＯＢＨは直角二等辺→ＢＨ＝４×１/√２＝２√２ｃｍ
求積すべき図形の面積は、扇形から△ＯＡＢをひく。
４×４×π×１/８－４×２√２÷２＝２π－４√２ｃｍ2
（15）
連続する２つの自然数をｎ、ｎ＋１とする。
ｎ2＋（ｎ＋１）2
＝２ｎ2＋２ｎ＋１＝365
２ｎ2＋２ｎ－364＝０ ←÷２
ｎ2＋ｎ－182
＝（ｎ－13）（ｎ＋14）＝０
ｎ＞０より、ｎ＝13
連続する２つの自然数は13と14
（16）
Ｂ中の54～56回の相対度数は、21/60＝７/20＝35/100＝0.35
ア…0.35
＠＠
54回以上とんだ生徒の割合が大きい→54回以上の階級の相対度数の合計が大きい。
Ａ中…0.25＋0.35＋0.20＝0.8
Ｂ中…0.35＋0.15＋0.05＝0.55
Ａ中の方が54回以上とんだ生徒の割合が大きい。
大問２（平面図形）
（１）
円の接線の作図。
半径と接線は接点で直交する。
半直線ＯＡをひき、Ａを通る接線をひく。
（２）
四角形ＥＤＣＦが平行四辺形である証明。
ＢＤ＝②、ＤＣ＝①
ＥとＦが中点であることに着目する。
△ＡＢＤにおいて中点連結定理より、ＥＦ//ＢＤ、ＥＦ＝①
ＥＦ//ＤＣ、ＥＦ＝ＤＣ
１組の対辺が平行かつ長さが等しいから、四角形ＥＤＣＦは平行四辺形である。
大問３（規則）
（１）
最大値【２、３、５、８…】
２＋３＝５
３＋５＝８
前の２項の和が連なるフィボナッチ数列である。
５＋８＝13（図から確認してもいい）
＠＠
値の合計【３、９、27、81…】
３の累乗が連なる。81×３＝243
ア…13、イ…243
＠余談＠
なぜ値の合計は３倍になるのか？
自身の分身が両サイドに移動して他の分身と合体する。
もとの２倍増えるから、すべての値を合わせると３倍になる。
（２）
ａとｂの和の９倍→９（ａ＋ｂ）を目指す。
すべての点をａ、ｂで表す。
ａ＋ｂ＋２（ａ＋ｂ）＋２（２ａ＋ｂ）＋２（ａ＋２ｂ）
＝９（ａ＋ｂ）
（３）
前問の結果は、操作２回目で点の値の合計が最初の和ａ＋ｂの９倍（＝３2）だった。
今度は最初の和が２＋５＝７だから、操作ｎ回目は７×３ｎ＝1701
３ｎ＝243
ｎ＝５
最大値はフィボナッチをしていく。
２回目‥５＋７＝12、３回目‥７＋12＝19
４回目‥12＋19＝31、５回目‥19＋31＝50
ｎ…５、最大値…50
大問４（関数）
（１）
ｙ＝３/４ｘ2にｘ＝－２、４を代入して、ＡとＢの座標を求める。
Ａ（－２、３）→Ｂ（４、12）
右に６、上に９だから、傾きは９/６＝３/２
Ａから右に２、上に３移動して、切片は３＋３＝６
ｙ＝３/２ｘ＋６
（２）
Ｐのｘ座標をｔとすると、Ｐ（ｔ、３/４ｔ2）
Ｐの真上をＱ、真下をＲとする。Ｑ（ｔ、３/２ｔ＋６）
△ＢＣＰと△ＣＤＰは幅がＣＤで等しい。
面積が等しい→高さが等しい→ＱＰ＝ＰＲ
２ＰＲ＝ＱＲで等式を立てる。
３/４ｔ2×２＝３/２ｔ＋６
３/２ｔ2＝３/２ｔ＋６
３ｔ2－３ｔ－12＝０ ←÷３
ｔ2－ｔ－４＝０
解の公式より、ｔ＝（１±√17）/２
０＜ｔ＜４だから、ｔ＝（１＋√17）/２
ｘ＝（１＋√17）/２
前半の小問は稼ぎやすい。
大問１
配点65点。小問の連戦でバテないようにしたい。
（９）までは基本の計算問題。
（10）弧ＡＢに対する円周角に着目して∠ＡＣＢ＝57°→△ＡＣＰの外角定理でもいける。
（12）正四角錐の高さを描いて三平方。
（13）百分率だときめ細かくなるので大小関係を判断しやすい。
（14）三角形の高さを描いて三平方。
（15）後半もオーソドックスな設問がつづく。
（16）記述も書きやすかった。
大問２
（１）学校選択では円外の点からひく接線の作図が出題されている。
（２）平行四辺形の定義・性質・平行四辺形になる条件を整理しておこう。
２つの中点を結ぶと有名な定理が使える。
大問３
本試験の目玉。すべて学校選択と同じラインナップである。
（１）ア：数列から判断できない場合は、操作３回目の図から５＋８＝13
（２）ゴールを９（ａ＋ｂ）に見定めて、各点をａ、ｂで表して計算する。
（３）難所。前問の結果から類推する。
はじめの数が【１・２】のとき、点の値の合計は３の累乗であった。
はじめの数を【ａ・ｂ】とおいたとき、操作２回目の合計は９（ａ＋ｂ）だった。
１回目：３１（ａ＋ｂ）→２回目：３2（ａ＋ｂ）…３回目は３3（ａ＋ｂ）になるのでは？
すなわち、はじめの数の和に３の累乗（ｎ回目の操作であれば３ｎ）をかける。
はじめの数が【２・５】のときは７×３ｎになる。
操作の回数ｎを求めたあとで最大値を出す。ここはフィボナッチに気づかねばならない。
大問４
（２）幅一定→等積＝高さが等しい。
求めたいｘ座標をｔとして、高さをｔで表す。
ＱＰの長さがやらしいので、２ＰＲ＝ＱＲにすると式がスッキリする。
コメント
高1生です。すみません……理数科の友人から大問3(2)の規則性の証明について、操作が2回目ではなくn回目で、「n回操作した時全ての点の値の合計が3のn乗倍になることを証明せよ」だったらどうする?と言われてしまったのですが全然思い付きません(二項定理やパスカルの三角形を使うのかなとか思ってみたり……)。もし宜しければ何かヒントを頂けませんでしょうか?
コメントありがとうございます。
自分は中学受験と高校受験が専門でして、守備範囲は数ⅠＡまでゆえ戦力不足です。申し訳ない…。
各数字が３つに細胞分裂して左右の２つが隣とくっつきあうのを繰り返すので、感覚的に３のｎ乗になるのはつかめますが、
数式で表すにはどうするのだろう…。
ａ＋ｂ→３（ａ＋ｂ）→９（ａ＋ｂ）→27（ａ＋ｂ）…等比数列の漸化式かな？(^^;