平均37.6点（前年比；－9.5点）
問題ＰＤＦ
大問１（小問集合）
（１）
９＋21÷（－３）
＝９－７
＝２
（２）
－５2×２
＝－25×２
＝－50
（３）
√24×√５÷√15 ←根号同士で約分
＝√８
＝２√２
（４）
３ａ＋４－２（ａ－２）
＝３ａ＋４－２ａ＋４
＝ａ＋８
（５）
１/３ｘ＋１/２ｙ＝４ ←６倍
２ｘ＋３ｙ＝24 …①
５ｘ－３ｙ＝18 …②
①＋②より、７ｘ＝42
ｘ＝６
①に代入。ｙ＝４
ｘ＝６、ｙ＝４
（６）
２ｘ2－７ｘ＋４＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（７±√17）/４
（７）
反比例の比例定数ａは積ｘｙ。
ａ＝－２×８＝－16
ｙ＝－16/ｘ
（８）
魔方陣。ｎ－１個が４つ。
４（ｎ－１）＝４ｎ－４個
（９）
全体は６×６＝36通り
同数は（１、１）～（６、６）の６通り→同数以外は30通り
大の出目＞小の出目、大の出目＜小の出目には対称性がある→30÷２＝15通り
*たとえば（大、小）＝（１、５）（５、１）は裏返しの関係。
確率は15/36＝５/12
（10）
具体的な角度が与えられたので、適当なＰを描いて角度調査。
△ＡＢＰで外角定理→∠ＢＰＣ＝54＋36＝90°→ＢＰ⊥ＡＣ
Ｂを通るＡＣに垂直な線をひき、ＡＣとの交点がＰ。
大問２（関数）
（１）
ＡＢの傾きは、ｘの値が－２→３に変化したときの変化の割合である。
ｙ＝ａｘ2においてｘの値がｐ→ｑに変化するときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）
１/２（－２＋３）＝１/２
（２）
各々の座標を確定する。
四角形ＡＣＤＢは２組の対辺が等しいから平行四辺形。
Ａ→Ｃは右に１、下に６移動する。
Ｂ→Ｄも右に１、下に６移動して、Ｄ（４、－３/２）
（３）
△ＡＢＰと平行四辺形ＡＣＤＢはＡＢが共通辺である。
△ＡＢＣが平行四辺形の半分なので、
等積変形の要領で考えるとＰはＣＤ上にあればいい。
すなわち、ＰはＣＤとｙ軸の交点になる。
ＡＢ//ＣＤより、ＣＤの傾きは１/２
Ｃから右に１、上に１/２移動して、Ｐのｙ座標ｐ＝－４＋１/２＝－７/２
大問３（データの活用）
（１）
範囲＝最大値－最小値
＝62－42
＝20回
（２）
32人の第１四分位数は下位16人の真ん中、下から８番目と９番目の平均。
48と50の平均→49回
（３）
最小値と最大値は同じ。
Ａ組31人の中央値（Q2）は16番目→53回
第１四分位数（Ｑ1）は下から８番目→49回、第３四分位数（Ｑ3）は上から８番目→56回
Ｂ組32人のＱ2は16番目と17番目の平均→53.5回、Ｑ1は前問の49回
Ｑ3は上から８番目と９番目の平均→56回
Ｂ組のＱ2（16番目と17番目の平均）を53.5→53回に減らす。
表２のＱ2付近をピックアップ。
52以下を消すと18番目…53、17番目＆16番目…54だから、Ｑ2を53に減らせない。
→53以降のデータを減らす。Ｑ2が53となるには、大別して以下の２通りがある。
●17番目を52にする。
53を消す必要があるので、訂正例は53→52以下にする（52が繰り上げで17番目になる）
●16番目を53にする。
54以降のデータを53に減らす。
配慮すべきは８番目と９番目の平均であるＱ3を変えてはならないこと！
56のセットは崩せないので56以降は不可。54か55を53に変える。
53、54、55
大問４（整数）
（１）
文字式にする。
ａ＜ｂ
Ａ＝２ａ＋５ｂ
Ｂ＝５ａ＋２ｂ
Ｃ＝Ａ2－Ｂ2
＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ）
＝（２ａ＋５ｂ＋５ａ＋２ｂ）（２ａ＋５ｂ－５ａ－２ｂ）
＝（７ａ＋７ｂ）（３ｂ－３ａ）
＝７（ａ＋ｂ）３（ｂ－ａ）
＝21（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）
ａ＜ｂより、（ｂ－ａ）は自然数。
（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）は整数だから21の倍数になる。
21
（２）
根号を外すには（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）＝21になればいい。
ｂ＋ａ＞ｂ－ａだから、（ｂ＋ａ、ｂ－ａ）＝（21、１）（７、３）
ａとｂの和21差１より、和７差３の方がｂの値が小さい。
●（７、３）
ｂ＋ａ＝７
＋)ｂ－ａ＝３
２ｂ ＝10
ｂ＝５
最も小さいｂは５
（３）
Ｃ＝21（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）＝483 ←÷21
（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）＝23
23は素数。23×１＝23しかない。
ｂ＋ａ＝23 …①
＋)ｂ－ａ＝１ …②
２ｂ ＝24
ｂ＝12
②に代入、ａ＝11
ａ＝11、ｂ＝12
大問５（空間図形）
（１）
側面積の扇形の面積…母線×半径×π
12×６×π＋６×６×π
＝108πｃｍ3
（２）①
Ｐ、Ｑ、Ｒは円周を３等分する→弦ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＰだから、△ＰＱＲは正三角形。
中心をＯとする。半径６ｃｍから１辺の長さを調べる。
３辺相等で、△ＯＰＱ≡△ＯＱＲ≡△ＯＲＰ
∠ＯＱＨ＝60÷２＝30°
ＰＯを延長、ＱＲとの交点をＨとする。対称性から、∠ＯＨＱ＝90°
（ＰＨは頂角ＱＰＲの二等分線で底辺ＱＲを垂直に２等分する）
△ＯＱＨの内角から辺の比は１：２：√３→ＯＨ＝３ｃｍ、ＱＨ＝ＨＲ＝３√３ｃｍ
正三角形ＰＱＲ＝６√３×９÷２＝27√３ｃｍ2
②
先に円錐の高さを求めておく。
辺の比２：１で三平方→高さは√３だから６√３ｃｍ
弧の長さと円周角の大きさは比例する。
弧ＰＱ：弧ＱＲ：弧ＲＰ＝∠ＰＲＱ：∠ＱＰＲ：∠ＲＱＰ＝③：④：⑤
△ＰＲＱの内角の和より⑫＝180°だから、
∠ＰＲＱ＝45°、∠ＱＰＲ＝60°、∠ＲＱＰ＝75°
円の中心ＯからＱＲに垂線をひき、足をＨとする。
半径よりＯＱ＝ＯＲ、共通辺ＯＨ
斜辺と他の１辺が等しい直角三角形で△ＯＱＨ≡△ＯＲＨ
弧ＱＲに対する中心角ＱＯＲ＝60×２＝120°→60°ずつに分かれる。
△ＯＱＨの内角は30°―60°―90°となり、辺の比は１：２：√３
ＱＨ＝ＲＨ＝３√３ｃｍ（前問の△ＯＱＲと同じ）
今度はＱからＰＲに垂線をひき、交点をＩとする。
△ＱＩＲは直角二等辺。１：１：√２より、ＱＩ＝ＩＲ＝６√３×１/√２＝３√６ｃｍ
△ＱＩＰは１：２：√３の直角三角形。ＰＩ＝３√６×１/√３＝３√２ｃｍ
△ＰＱＲの面積は底辺ＰＲ、高さＱＩで求まる。
三角錐Ａ―ＰＱＲの体積は、（３√２＋３√６）×３√６÷２×６√３÷３＝54＋54√３ｃｍ3
大問６（数量変化）
（１）
ｙ＝３×３÷２＝９/２
（２）
ＰがＢＣ上を動くとき、Ｑは赤線を動く。
ｙ＝ｘ×８÷２＝４ｘ
（３）
０≦ｘ≦８のとき、底辺と高さが伸びるので、面積はｙ＝ａｘ2に増加する。
ｘ＝８のとき、ｙ＝８×８÷２＝32だから、（ｘ、ｙ）＝（８、32）を代入して、
32＝64ａ→ａ＝１/２
ｙ＝１/２ｘ2
８≦ｘ≦12のとき、前問よりｙ＝４ｘ
ｘ＝12のとき、ｙ＝48
大問題は12≦ｘ≦16のとき。
面積は減少し、ｘ＝16のとき、ｙ＝８(DE)×４÷２＝16となるが、
一次関数で減少するのか、ｙ＝ａｘ2で減少するのか悩む。
横方向のみの減少なので一次関数で減少する（*詳しくは後述します）
16≦ｘ≦24のとき、面積は減少していき、
ｘ＝24のとき、ｙ＝０
↑ｘ軸は１マス１秒だが、ｙ軸は２ｃｍ2である！
まとめると…
０≦ｘ≦８のとき、ｙ＝１/２ｘ2
通過すべき格子点は、原点Ｏ→（２、２）→（４、８）→（６、18）→（８、32）
８≦ｘ≦12は（８、32）→（12、48）
12≦ｘ≦16は（12、48）→（16、16）
16≦ｘ≦24は（16、16）→（24、０）
＠詳細＠
三角形の面積…底辺（横成分）×高さ（縦成分）÷２
横と縦が一定に伸びると、面積はｙ＝ａｘ2で増加。
いずれか一方が一定に伸びると、面積は一次関数（比例）で増加する。
斜めは横成分＋縦成分の合成なので、１つの頂点が斜め移動したらｙ＝ａｘ2です。
一直線上に並ぶＡ・Ｂ・Ｃにおいて、Ａが左、Ｂが右に移動するときの△ＡＢＣの経過を追います。
（わかりやすいように、同じ速度で移動するものとします）
ＡＢの中点をＤとすると、移動先のＡＢも必ずＤを通過します。
錯角と等しい移動距離から一辺両端角相等ゆえ合同→ＡＤ＝ＢＤになるからです。
△ＡＤＡ1≡△ＢＤＢ1のように点対称の関係になります。
ＤＣで三角形を分割します。
△Ａ1ＤＣ→△Ａ2ＤＣ→△Ａ3ＤＣ…は底辺ＤＣ、高さの比はＡ1Ａ、Ａ2Ａ、Ａ3Ａ…
△Ｂ1ＤＣ→△Ｂ2ＤＣ→△Ｂ3ＤＣ…は底辺ＤＣ、高さの比はＢ1Ｂ、Ｂ2Ｂ、Ｂ3Ｂ…
左右を統合すると、底辺ＤＣは一定、高さの比だけが比例で増加します。
ということは、△ＡＢＣの面積は比例で増加することになります。
反対に、ＡとＢが近づけば面積は比例で減少します。
ＡとＢの速さが等しくない場合はＤの位置が変わるだけで、同様のことがいえます。
（４）
ｙ＝18のラインをひく。
０≦ｘ≦８のとき、（６、18）を通る。ｘ＝６
（ｙ＝１/２ｘ2にｙ＝18を代入すればいい）
（12、48）→（16、16）
右に４、下に32だから、傾きは－32/４＝－８
１秒後に８ｃｍ2減少する→過去に遡れば１秒前に８ｃｍ2増加。
（16、16）から遡って２ｃｍ2増加する時間は、２/８＝１/４秒
16－１/４＝63/４
ｘ＝６、63/４
大問７（平面図形）
（１）
△ＢＥＦが二等辺三角形である証明。
角度から攻めるので、２つの底角が等しい点を指摘すればいい。
仮定より、∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ＝ａ
接線と半径は垂直だから、∠ＡＢＦ＝90°
△ＡＢＦの内角より、∠ＢＦＥ＝180－（ａ＋90）＝90－ａ
＠＠
（以降が記述部分）
また、半円の弧に対する円周角から∠ＡＣＥ＝90°
△ＡＣＥの内角と対頂角より、∠ＡＥＣ＝∠ＢＥＦ＝180－（90＋ａ）＝90－ａ
∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥより、２つの底角が等しいので、△ＢＥＦは二等辺三角形。
（２）①
弧ＡＣ＝弧ＢＣ→弦ＡＣ＝弦ＢＣ
半円の弧に対する円周角より、∠ＡＣＢ＝90°だから、△ＡＢＣは直角二等辺。
∠ＥＡＢ＝45÷２＝22.5°
弧ＢＧを求めるには中心角ＢＯＧがいる。
これは弧ＢＧに対する中心角なので、∠ＢＯＧ＝22.5×２＝45°
弧ＢＧの長さは、２×２×π×45/360＝π/２ｃｍ
②
難しい(´д｀)
∠ＣＡＢ＝45°、∠ＡＢＤ＝90°から、△ＡＢＤも直角二等辺。
ＤＢ＝４ｃｍ
求積すべき図形が複雑かつ２ヵ所に分かれているので、分割が使えにくい。
白いエリアも複雑で求めにくい。
取っ掛かりを得るために前問利用をにらむ。
弧ＢＧの曲線部分が面倒。ＣがＯの真上にある点に着目すると…。
ＯＣに補助線。
△ＡＢＣは直角二等辺→∠ＣＯＢ＝90°
∠ＣＯＧ＝90－45＝45°
２辺（半径）とあいだの角が等しく、二等辺ＯＢＧ≡二等辺ＯＣＧ
弧と弦に囲まれた部分（中心角45°の扇形－二等辺）を移植する。
さらに、もう１ヵ所を集められないか。
半円の弧に対する円周角より、∠ＡＧＢ＝90°
二等辺ＢＥＦとＢＧ⊥ＥＦから、斜辺と他の１辺が等しい直角三角形で△ＢＥＧ≡△ＢＦＧ
右側に移植する。
まとめると上図のようになる。
ＧからＯＢに垂線、足をＨとする。
△ＯＧＨは直角二等辺→１：１：√２より、ＧＨ＝√２ｃｍ
求積すべき図形は、直角二等辺ＡＢＤ－（△ＡＯＣ＋△ＯＢＧ×２）
＝４×４÷２－（２×２÷２＋２×√２÷２×２）
＝６－２√２ｃｍ2
●講評●
大問７編成で厳しい設問がいくつもある。
大問数を１つ減らしても厳しいラインナップだと思う。
ゆとりがある人以外、難問には付き合わない方が良い。
大問１
ここでできるだけ稼いでおきたい。
（10）想定したＰをもとに角度を調査して方針を立てる。
大問２
（２）までは取りたい。公立入試で座標平面上の平行四辺形は頻出。
（３）平行四辺形であることを掴み、これの半分となる三角形を考える。
平行四辺形を対角線で割ると２等分される。等積変形で頂点をｙ軸上に移す。
大問３
（３）やや重いので後回ししてもいい。
一応、１行16個で整理されているので、中央値を判断しやすくしてあるが、
Ａ組Ｂ組のＱ1～Ｑ3を調べるのに参ってしまった人はいたはず。
Ｑ2の両サイドの一方をどう変えるか。論理的思考力が厳しく問われる。
数値の並びから52以下はいじれない。上をいじるとなると、Ｑ3を崩さないよう気を配る。
大問４
（１）から飛ばし過ぎ。
ここを間違えるとドミノ式で×なので、全滅した生徒は少なくないだろう。
足し算は項を入れ替えても問題ないから（交換法則）、（ｂ＋ａ）にしておくと次が対処しやすい。
（２）２通りでてくるので（３）よりやりづらさはあるかも。
和21差１は半分の10.5の両サイド→10と11。和７パターンの方がｂの値は小さい。
大問５
（１）円錐の側面積は公式で対処したい。なぜそうなるのかも押さえておきたい。
（２）本番では対称性を使って次々に角度認定していくのがいい。
（３）ここも正答率は低いだろう。
45°―60°―75°の三角形を２種類の有名三角形に分割する。経験差が出やすい。
2025年青森大問５に類題が出ている（三角形の１辺を求める…11.3％、三角形の面積を求める…0.2％）
富山は弧の長さの比より内角を求める作業からスタートし、
小問の小刻みなしに三角錐の体積まで要求された。
大問６
（２）までは取りたい。
（３）12≦ｘ≦16をどう対処するか…。
原点以外の放物線は公立入試では見かけないので、一次関数にはってしまうのも手かも。。
直線であれば始点と終点の座標を確定するだけで引ける。
０≦ｘ≦８は途中で通過すべき格子点が３点ある。
（４）内容は他県でも見かけるものだが、難問を飛ばしていないと時間不足に陥る。
大問７
（２）①中心角ＢＯＧをどう求めるか。45°を半分→２倍で45°
②難問。正答者ゼロでは？
球積すべき図形で最も厄介なポイントは弧ＢＧ。
前問で中心角ＢＯＧを使ったので、∠ＣＯＧ＝45°に目を向けられたら、
曲線部分をＢＧ→ＣＧにあてはめることができる。
さらに分離した△ＢＥＧは（１）の二等辺＋∠ＢＧＥ＝90°で移植できる。
失点しても合否に影響はないので他を取ろう。
コメント