2019年度 徳島県公立高校入試問題【数学】解説

平均46.1点

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大問1(小問集合)

(1)
-5+2=-3

(2)
(x+2)2
=x2+4x+4

(3)
反比例の一般式:y=a/x
比例定数a=3
y=3/x

(4)
n角形の内角の和→180(n-2)
180×(5-2)=540°

(5)
2x2-x
=x(2x-1)=0
x=0、1/2

(6)
2.4<√a<3
2乗して根号を外す。
5.76<a<9
自然数aは、6、7、8。

(7)
すべての場合→24=16通り

600円以上となるには、500円と100円は必ず表。
この2枚は表で固定。残りの50円と10円は何でもいい。
50円と10円の出し方は、22=4通り
よって、4/16=1/4

(8)
Pはx軸との交点なので、y座標は0。
Pのx座標を求める。
6x-0=10
x=5/3
P(5/3、0)

ax-2y=15に代入。
5/3a-2×0=15
a=9

(9)
扇形の半径(母線):底面の円の半径=円の中心角:扇形の中心角
半径の比の逆比が、角度の比にあたる。
円の半径…16×135/360=6cm

(10)
100の中央値(メジアン)は50と51番目の平均値。
a+b=100-(23+15+6)=56
a…56×4/7=32
23+32=55
50と51番目は、ともに10以上~20未満の階級にある。
よって、相対度数は、32÷100=0.32

大問2(空間図形)

(1)
辺ADと平行な辺は、三角柱の高さにあたる。
辺BE、辺CF

(2)
△ABCで1:1:√2の直角三角形。
BC=10√2cm

(3)a
面積比は辺の比の2乗。

辺の比は1:2なので、△PQRは△PEFの1/4倍。


体積比は辺の比の3乗。

三角錐P-DEFにおいて、上:下=13:23-13=1:7
下(AQR-DEF)=10×10×1/2×20×1/3×7/8=875/3cm3
三角柱ABC-DEFからこれをひく。
10×10×1/2×10-875/3=
625/3cm3

大問3(文字式)

(1)
xが高度km、yが温度℃。
xに代入して、yの値の差を求める。
P:y=18-6×1.5=9℃
R:y=18-6×2.1=5.4℃
よって、9-5.4=3.6℃低い。

(2)a
秒を分に変換する。
5秒→5/60=1/12分
20秒→20/60=1/3分
ア…1/12、イ…1/3

イスの速さを分速xm、イスの間隔をym。
yは距離で、速さ×時間=距離から等式を立てる。

↑yの距離で立式。
■出会う
1/12×48+1/12x=y
1/12x+4=y…①

■追い越す
1/3x-1/3×48=y
1/3x-16=y
…②
ウ…1/12x+4、エ…1/3x-16


①、②を解く。
1/12x+4=1/3x-16
x=80、y=32/3
イスの速さは分速80m、イスの間隔は32/3m。

@別解@
速さで等式を立てることもできる。
イスの速さを分速xmとおく。
出会いで5秒、追い越しで20秒。
時間の比が1:4、速さの比は逆比で4:1
出会いの速さの和=追い越しの速さの差×4
48+x=4(x-48)
x=80

大問4(関数)

(1)
y=x2に放り込むのみ。
y=22=4
A(2、4)

(2)
同様に、B座標を求める。
B(3、9)
P(0、6)⇒B(3、9)
右に3、上に3なので、傾きは1。
y=x+6

(3)
y=2x2のとき、A(2、8)B(3、18)C(-1、2)

↑なんか点の位置がおかしいが。。
お馴染みの等積変形。
AB//CPで傾きが等しくなる。
(A⇒B)右1上10。
(C⇒P)右1上10。P(0、12)
よって、Pのy座標は12。

(4)
反射の問題→線対称
y軸を対称の軸とし、Bを左へ対称移動させた点をB’とおく。

PはAB’とy軸の交点にあたる
A(3、9a)B’(-2、4a)
AB’の傾きは、右に5、上に5a→a

AB’の直線の式は、y=ax+5
x=3、y=9aを代入。
9a=3a+5
a=5/6


大問5(平面図形)

ラグビーワールドカップを題材にした設問(*’ω’*)
(1)
総当たり戦(リーグ戦)の試合数。

5チームなので、5-1=4⇒1~4までの総和。
10試合

(2)a
トライ後に五郎丸選手がお馴染みのルーティーンで蹴るアレ。
トライした位置の延長線であれば好きな場所から蹴れるらしい。
コンバージョンゴールというそうで、
ゴールポストから離れるほど(端にいくほど)難易度が高くなる。
(だから、余裕があるときは中央に寄ってトライを決めるのだと)

本問は円の中心Oの作図。
A・B・P’が円の円周上にくるので、これらのうち2つを選び、垂直二等分線を作成。
2本の垂直二等分線の交点がOとなる。
*『定規やコンパスを持っていない場合は、作図の方法を文章で書きなさい』とあるけど、
説明があったのに持ってこなかった人は失格でいいと思う。


接点P’を円周角とする角が最大角となる理由。
特殊な証明だが、そんなに難しくない。

円周角の定理より、∠AP’B=∠ARB(
△BRQに注目!
外角定理から、∠ARB()=∠RBQ()+∠AQB(
∠ARB>∠AQBだから、∠AP’B>AQBとなる。

@まとめ@

A・B・ℓはわかっているので、キッカーが蹴るべきP’は円の中心Oの真横となる。
OはAとBの垂直二等分線(m:ゴールの真ん中)のどこかにあり、P’はℓのどこかにある。
作図では、mとℓの距離をとり、これをBに針を移してmとの交点がO。
Oを通るℓとの垂線をひき、交点がP’となる。
実際の試合では経験と感覚で決めるんでしょうな(´ω`).。0

ラグビー問題作った人すごいな(*’ω’*)w
ラグビーワールドカップ観戦の予備知識に良かった。
3(2)は、線分図かなにかで情報整理をしたうえで立式。
関数の最短距離も『型』として知っておきたい。
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note書いています(*'ω'*)
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