2023年度 京都府高校入試問題過去問・前期【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
-32×{7-(-4)2
=-9×(7-16)
=-9×(-9)
=81

(2)
(3x-2y)/6-(4x-y)/8
={4(3x-2y)-3(4x-y)}/24
=(12x-8y-12x+3y)/24
=-5/24y

(3)
3√50-√2-√54÷√3 ←根号同士で割算
=15√2-√2-√18
=14√2-3√2
=11√2

(4)
2x-3y=5 …①
3x-(4x-6y)=-1
-x+6y=-1
x=6y+1 …②

②を①に代入。
2(6y+1)-3y=5
9y=3
y=1/3
②に代入して、x=6×1/3+1=3
x=3、y=1/3

(5)
y=ax2においてxの値がp→qまで増加したときの変化の割合はa(p+q)
-2(a+a+2)=-40 ←両辺を÷-2
2a+2=20
a=9

(6)
2x+y+5)(2x+y-5) ←2x+y=Xとおいてみると…
=(X+5)(X-5)
=X2-25 ←Xを2x+yに戻す
=(2x+y)2-25
=4x2+4xy+y2-25

(7)
6x2+2x-1=0
解の公式を用いる。xの係数が偶数だからb=2b’が使える。
x=(-1±√7)/6

(8)

正五角形の内角はおさえておきたい。∠EDH=108°
EHに補助線。
△DEHは二等辺で、その底角は(180-108)÷2=36°
∠EHG=108-36=72°

Bを通るEHに平行な線をひき、HGの延長線との交点をIとする。
xを対頂角、72°を錯角で移動。
同位角で、∠AEH=∠EBI
∠GBI=(37+36)-60=13°
最後に△GBIで外角定理を使う。x=72-13=59°

(9)
太郎と次郎が2人でハズレを引けば、自動的に花子だけが当たる。
太郎のハズレは4本中2本。
次郎のハズレは残り3本中1本。
2/4×1/3=1/6

大問2(データの活用)

(1)
生徒9人が拾った合計の本数は、9×8=72本
a+b=72-(3+9+15+6+11+8+4)=72-56=16本
0<a<bの条件から、a+b=1+15=2+14=3+13=4+12…=7+9
この7通りのうち、本数がかぶらない組み合わせは2+14しかない。
a=2、b=14

(2)

値を昇順に並べる。
10人のQ2(第2四分位数;中央値)は5番目と6番目の平均。
Q1(第1四分位数)は下位5つの真ん中で下から3番目。
Q3(第3四分位数)は上位5つの真ん中で上から3番目。
先生がどこにくるかは不明だが、このあたりがQ1かQ3になる。

3、4が連続している点に着目する
もし、先生が3以下ならばQ1は3、先生が4以上でならばQ1は4
。この2通りに絞られる。
四分位範囲=Q3-Q1=9
Q1が3のとき、Q3は12になるが、先生は3本以下なので12は無い。×
Q3が4のとき、Q3は13になり、先生が13本であれば成り立つ。〇
したがって、先生は13本。


大問3(空間図形)

(1)

正八面体の特徴を知っておかないと、時間が間に合わないと思う(;´・ω・)
立方体の各面の中心を結ぶと正八面体になる
この特徴を抑えておくと、いろんなところにある等辺や直角が見えやすい。

BDとCEの交点をOとする。
立方体のどの面から見てもOは中心にある→Oは立方体の中心
立方体の1辺は4cm。
△OBCは等辺2cmの直角二等辺三角形
1:1:√2より、正八面体の1辺BC=2√2cm

(2)

BDの中点は前図のO。OをHに変えた。
三角錐F―BHEは正八面体の8分の1にあたる
2×2÷2×2÷3=4/3cm3

(3)

Aは立方体の中心の真上にある。
求めたいのはAと面BFCとの距離だが、
対称性からAと面BFE、面EFD、面CFDとの距離と等しい
アングルの都合上、Aと面BFEとの距離を求める

Fを1階、BとEを2階、Aを3階とする。
FBとFEの延長線上で、Aと同じ3階にある点をそれぞれI、Jとする。
I、Jの中点Kの位置を真上から見た図で調べると、Kは立方体の頂点にある
(△FEBと△FJIは相似比が1:2)

KAは等辺2cmの直角二等辺の斜辺→KA=2√2cm
直角三角形AKFで切り取る。Aから垂線をひき、足をLとする。
 
×=90°から2角相等で、△AKF∽△LKA
△AKFの辺の比で、KA:AF=2√2:4=√2
三平方の定理から、KF=√6
△LKAの辺の比より、KA:LA=√6なので、
AL=2√2×/=4√3/3cm

大問4(関数)

(1)
反比例の比例定数aはxとyの積
A座標から、a=2×6=12

座標を確定していく。
B(4、3)から左に2、上に3移動してA(2、6)。
Aからさらに左に2、上に3移動してD(0、9)。
C(-4、-3)
BとCは原点に関して対称であり、BCは原点Oを通過する

△BDCを等積変形すると、底辺8、高さ9の三角形になる。
8×9÷2=
36

(2)

EBはx軸に平行→Eのy座標はBと同じ3。
これはCとDのy座標の平均なので、EはCDの中点である。E(-2、3)
△BDCの面積を⑤とおくと、CE:ED=1:1より△BEC=⑤÷2=〇2.5
仮定から四角形COFE=②、△BFO=〇2.5-②=〇0.5

面積比を整理すると、△BFO:△BEC=0.5:2.5=①:⑤
これを隣辺比で表すと、FB×
:EB×=①:⑤
外項と内項の積で、FB×5=EB×2
FB:EB=
EB=6だから、FB=6×/=12/5
Fのx座標は、4-12/5=8/5


大問5(平面図形)

(1)
△IGB∽△IFEの証明。
折り返しによる等角の対称関係に留意する。

対頂角(×
錯角+BD折り返し+GH折り返し(
2角相等で∽。

(2)

AB=6cm、AD=8cmから直感したい。
△ABDは辺の比が3:4:5の直角三角形→BD=10cm
内角が×―90°の三角形は3:4:5である。

なんとなくGがBDの中点っぽい…。
折り返しで×を記す。
同じく折り返しで、∠DAB=∠DEB=90°
∠GEB=90-×
△GBEは底角が等しいから二等辺三角形
BD=BG+GD=BG+GE=10cm
BG=GE=10÷2=5cm
やはり、GはBDの中点であった。

DE=8cmだから、DFがわかればFEが求まる
Ⅰ図に戻ると見えやすい。
錯角で∠DBF=→等しい底角から△BFDは二等辺三角形
頂角Fから底辺BDに垂線をおろすと、その足はBDの中点Gを通過する。
△DGFの内角はと90°だから残りの角は×
3:4:5が使って、DF=5×⑤/④=25/4cm
EF=8-25/4=7/4cm

@余談@

GがBDの中点である説明ですが、線対称でGH⊥DE
交点をJとするとJはDEの中点、∠DJG=∠DEB=90°、
青線の相似からGが中点ともいえます。

(3)
本試験の最難関です(ノ)`ω´(ヾ)

BIを1辺とする相似は(1)で求めている。
BI:EI=5:7/4=
GE=5cm、GIをの比で表せられないか…。

Gを通るBCに平行な線をひき、DEとの交点をJとする
前問で使用した数字から、DF:FE=25/4:7/4=㉕:⑦
DG:GB=DJ:JF=1:1
JF=㉕÷2=〇12.5

GI:IE=JF:FEより、GI=〇12.5
GE=5cmは〇19.5に相当するので、
BI=5×/〇19.5
200/39cm

大問6(規則)

(1)

書いて調べる。
差の差が+8ずつ増加している。
72個

@別解@
よく見ると、1周目〔右1、上1、左2、下2〕2周目〔右3、上3、左4、下4〕
…と続いている。
4周目は1+1+2+2+…7+7+8+8
つまり、1~8の和を2倍すればいい
等差数列の和の公式から、(1+8)×8÷2×2=72

(2)
左矢印の数をみると、【2、4、6、8…】と偶数がつづく。
すなわち、20番目の偶数40までの和を求めれば良い。
等差数列の和の公式を用いて、(2+40)×20÷2=420個

(3)

3番目まで上下左右の内訳を調べると、右と上、左と下に対称性がある
(上+左+下)-右 ←上と右を相殺する
=左+下=6160
左と下の和が6160になる。

もっと分解すると、下=6160÷2=3080
最後をn番目とすると下の和は、
2+4+6+…2n
=2(1+2+3+…n)=3080 ←両辺÷2
1+2+3+…n=1540
すなわち、1からn番目の連続する整数和が1540となるnを求めればいい
1/2n(n+1)=1540
n(n+1)=3080

502=2500、602=3600
nは50~60の範囲にあり、1の位が0なので素因数5が必要→nかn+1が55。
54×55=2970、55×56=55×(54+2)=2970+110=3080!
(もしくは、3080÷7が割り切れるので7の素因数を含む56→55×56)
n=55


大問1
(8)正五角形の1つの内角は108°、正六角形は720°と覚えてしまった方がいい。
180(n-2)/nで出る。もちろん、正五角形の周回してxを求めてもOK。
大問2
(2)連続している箇所がポイント。先生が3本以下か4本以上で場合分け。
大問3
(1)正八面体は直角二等辺三角形や正方形となる断面が多い。
(3)∠BFC(解説では∠BFE)の二等分線上にAの垂線の足がある。
真上から見た図で整理するとAから2√2cm。あとは辺の比で処理する。
もしくは、三平方でKF=2√6cm
△AKFの面積を2通りで表すと、2√2×4÷2=2√6×AL÷2
大問4
(1)反比例で原点対称の点を結ぶと原点Oを通過する。
(2)2/5と具体的な数字が提示されたので、⑤と②におきかえて面積比を調べる。
1つの角を共有するので隣辺比が使える。
大問5
(2)ここから正答率が高くなさそう(;´・ω・)
Ⅱ図よりⅠ図の方が方針が立てやすかった。1回の折り返しで重なった部分は二等辺三角形。
(3)厳しい(;´Д`A
3:4:5を使うとこんがらがりそうな…。
前問の利用をよぎらせよう。BIとEIが対応しない。GIの辺の比が欲しい。
GがBDの中点であることをどこかで利用する。
大問6
(2)等差数列の和は京都6で頻出である。
(3)ここも等差数列の和の問題に帰結する。
50~60のあいだ→3080の1の位が0だから〔5×偶数〕→55の前後と絞りたい。
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コメント

  1. 京都府民 より:

    ⑻はブーメラン型より∠AHD=11度と求めてx+60=108+11とするのがシンプルかと思います。
    3⑶は⑵より,体積と低面積からHと△BFEの距離を求めて2倍というのが出題者の意図かと思われます。
    4⑴は等積変形の必要でしょうか。9×(4+4)÷2でO.K.です。
    5⑶は⑴の存在より20x+7y=25/4, 20y+7x=5の連立方程式が出題者の意図ではないかと思われます。

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