2024年度 宮城県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
2-16
=-14

(2)
7/3+2/9×(-3)
=7/3-2/3
=5/3

(3)
(6a2b-4ab2)÷2ab ←分配法則
=6a2b÷2ab-4ab2÷2ab
=3a-2b

(4)
2(a+7b)-8b
=2a+6b ←ここで代入
=2×(-5)+6×1/6
=-10+1
=-9

(5)
2-10x+21
=(x-3)(x-7)

(6)
反比例はxとyの積が比例定数aで一定。
a=-2×9=-18
y=-18/x

(7)
7/√7=√7
3=√9
√7<√9<√10だから、7/√7<3<√10

(8)

半径4cm高さ6cmの円柱から、半径3cm高さ5cmの円柱をくり抜く。
4×4×π×6-3×3×π×5
=96π-45π=51πcm3

大問2(小問集合2)

(1)①
和が6となる組み合わせは、
(a、b)=(1、5)(2、4)(3、3)(4、2)(5、1)
計5通り、全体は6×6=36通りだから確率は5/36。


分母のaで場合分け。
a=1→必ず整数になる。b=1~6
a=2→奇数を選ぶ。b=1・3・5
a=3→b=2・5
a=4→b=3
a=5→b=4
a=6→b=5
計14通りで、確率は14/36=7/18

(2)①

半径から△OBCは二等辺→∠OCB=28°
△CEBで外角定理、∠AEC=37+28×2=93°



中心角である∠BODが知りたい。
半径より△OCDも二等辺→∠ODC=37°
ブーメランの3つ角の和が股の角、∠BOD=(37+28)×2=130°
弧BDの長さは、6π×130/360=13/6πcm


(3)①
y=1/2x2にx=4を代入→A(4、8)
Bはy軸についてAと対称だからB(-4、8)



Cのx座標をtとする。C(t、at2)D(-t、at2
AC=4-t
CD=t-(-t)=2t
4-t=2t
t=4/3

Cのy座標で等式を立てる。
at2=(4/3)2a=16/9a=8
a=9/2

(4)①

方陣算。上図のように4つのグループにまとめる。
1回目は2個ずつ、2回目は4個ずつ…。
3回目は6個ずつ、4回目は8個ずつだから8×4=32個

②ア
n回目は2n個ずつのグループになる
新たに置いた碁石は、2n×4=8n=88
n=11
11回目


黒の碁石は奇数回目で置く→1・3・5・7・9・11回目
奇数回目の1グループの合計を一括して求める。
11は6番目の奇数だから、1+3+5+7+9+11=62=36個
1グループの合計は、36×2=
72個
4グループずつあるから、全部で72×4=288個

大問3(データの活用・数量変化)

(1)①
最小値が最も小さいC組。


説明問題。
40人の中央値は20番目と21番目の平均。
どのクラスも中央値は340秒未満→各組に少なくとも20人は340秒以内である
4組全体では少なくとも80人は340秒以内である。

(2)①

洋平はPQ間を900m÷分速200m=4.5分、QR間を300m÷分速300m=1分で走る。
0→(4.5、900)→(5.5、1200)を結ぶ。

②ア
明は1200m÷分速250m=4分48秒走る。
洋平とすれ違うのはQ地点からP寄り。

中受の戦法を使います。
速さの比は洋平:明=200:250=4:5
時間は逆比で、洋平:明=⑤:④
P地点から2人が出会う地点までの距離を洋平は⑤、明は④の時間がかかった
⑨=6分なので、出会う時間⑤は6×⑤/⑨=10/3=3・1/3分=3分20秒後



300m÷分速250m=6/5分=1分12秒
明はP地点到着から1分12秒前に300m手前にいた。
洋平は明より30秒前にR地点へ到着するので、R到着から1分12秒-30秒=42秒前
このとき、洋平は分速300mで走っている。
R地点までの距離は、300m×42秒/60秒=210m
P地点までの距離は、1200-210=
990m


大問4(平面図形)

(1)
D、EはそれぞれAB、ACの中点。
中点連結定理より、DE=BC÷2=10÷2=5cm

(2)
△ADF≡△DBEの証明。

仮定から、AF=DE
DはABの中点だから、AD=DB
AF//DEの同位角より、∠FAD=∠EDB
2辺とあいだの角が等しいから合同。

(3)①

仮定の∠CGE=∠ACF(
AF//GCの錯角で、∠ECG=∠FAC(×
2角相等で△CGE∽∠ACF
CG:AC=EC:FA
CG=8×4/5=
32/5cm



AE=ECより、△AGEと△CGEは等積である
前問より、△CGE∽△ACFの相似比は4:5→面積比は2乗して⑯:㉕
△ACFの底辺はAF=5cmと出ているので、高さがわかればすべて求まる。

3辺の長さが判明している△ABCに着目する
Aから垂線をおろして足をHとし、HC=xとおく。
BH=10-x
AB2-BH2=AH2=AC2-HC2
122-(10-x)2=82-x2
144-100+20x-x2=64-x2
20x=20
x=1
△AHCで三平方→AH=3√7cm
したがって、△AGE(△CGE)の面積は、5×3√7÷2×⑯/㉕=24√7/5cm2


大問1
配点26点。
(7)根号で大小関係を比較する。
大問2
(1)②分子のbではなく、分母のaで整理する。
(2)②DOに補助線をひけるかどうか。
(4)②ア:1グループの個数はnの2倍である。
イ:奇数回目だけを抜き出して、1グループの合計を4倍する。
連続する〇番目までの奇数の和は、〇×〇で求められる。
大問3
(1)①『数値が小さい方が速い記録』とヒントがある。
(2)ア:高校受験の正攻法は2直線の交点座標を求める。
イ:どんな情報が欲しいか、それから何がいえるか。手順を追っていく。
まず、明が300m手前にいたときの時間を求める。
これは先にゴールに着いた洋平では
何秒前か→洋平の場所を求める。
大問4
(2)変わった位置関係だが、証明の方針は立てやすい。
(3)①CGを1辺とする△CGEと∽にあたる三角形を探す。
等角の仮定から見つけやすい。
②(1)でEがACの中点であることに触れている。
ここから求めにくい場所にある△AGEを先ほどの△CGEに置き換えることができる。
高さを求めるには三平方を用いたテクニックを要する。
前問でCG=32/5cmと出したので、32/5×3√7/2÷2=24√7/5cm2と出してもいい。
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コメント

  1. 匿名 より:

    宮崎県のラス問は毎年メネラウスとかチェバとか中線定理とか使わないと無理だろ!といった感じですが、今年はそんなこともなく受験生の努力が報われそうな形式になっていてよかったです。同じように大分県のラス問もここ数年相当易化しており何が起きたんだ?と感じています。{良い変化だとは思いますが、難問も見たいんです(´ω`)}

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。新生活はいかがでしょうか。

      気持ちはわかります(笑)昨年の宮城は平均ダダ下がりだったので、揺り戻しで易しくしたのだと思います。
      最後の大問で平面をポッと出すところは妙に期待しちゃいます。山形とか奈良滋賀とか。
      しかし、あまりやりすぎると苦情も入るようです。私も講評で何度か書いたことが(;^ω^)

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