2025年度　島根県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均22.1点（前年比；－4.7点）

問題ＰＤＦ

大問１（小問集合）

（１）
５＋３×（－２）
＝５－６
＝－１

（２）
８ａ×３ｂ²÷12ａｂ
＝２ｂ

（３）
ｘ－４ｙ＝１　…①
２ｘ－５ｙ＝８　…②
①×２－②をすると、
－３ｙ＝－６
ｙ＝２
①に代入、ｘ＝９
ｘ＝９、ｙ＝２

（４）
反比例の比例定数ａは積ｘｙ
ａ＝４×２＝８

（５）

合同条件：ア…３辺、ウ…２辺とあいだの角、エ…１辺と両端角

イは合同条件を満たさず、三角形を決定できない。
イ

（６）①

Ｐを含まない弧ＡＢに対する中心角ＡＯＢ＝105×２＝210°
ｘ＝360－210＝150°

②
Ｐを含む弧ＡＢの長さは、６×２×π×150/360＝５πｃｍ

（７）①
20²×２＝800字

②
２ｎ²＝1000
ｎ²＝500
ｎ＞０より、ｎ＝10√５
√５＝2.2360679…（富士山麓さんろくオーム鳴く）
10√５≒10×2.23＝22.3
22.3マス以上必要→ｎは自然数だから、最小のｎ＝23

（８）
アルミ缶は100個中60個。
全体のアルミは、2000×60/100＝1200個
ウ

大問２（確率・整数）

（１）①
素数は２・３・５・７の４個（１は含まない!）
確率は４/９

②〔１〕
ａ＝５を代入。
ｘ²＋５ｘ－６
＝（ｘ＋６）（ｘ－１）＝０
ｘ＝－６、１

〔２〕
ｘ²＋ａｘ－６＝０の解が整数になる（ａは１～９の自然数）
積－６に注目する。符号を無視すると、６＝１×６＝２×３
１つは前問の（ｘ＋６）（ｘ－１）＝０
ａ＝６－１＝５〇
ａ＝５

もう１つは２×３＝６から、
（ｘ＋２）（ｘ－３）＝０→ａ＝２－３＝－１×
（ｘ＋３）（ｘ－２）＝０→ａ＝３－２＝１〇
ａ＝１
ａ＝１、５の２通りだから、確率は２/９

＠余談＠
ｘ²＋ａｘ－６＝０に解の公式を適用すると、

ａ＝１を代入すると、ｘ＝－３、２
ａ＝５を代入すると、ｘ＝－６、１

（３）①
太郎のノートを見る。
ｎは整数なので、３ｎは３の倍数。
３

②
連続する３つの整数をｎ－１、ｎ、ｎ＋１として、
（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ＋１）
＝３ｎ＝2025
ｎ＝675
これが真ん中の数だから、連続する３つの整数は674、675、676

（２）①
２²＋３²＋４²＝29

②
（ｎ－１）²＋ｎ²＋（ｎ＋１）²＋１
＝ｎ²－２ｎ＋１＋ｎ²＋ｎ²＋２ｎ＋１＋１
＝３ｎ²＋３
＝３（ｎ²＋１）
ｎ²＋１は整数だから、３（ｎ²＋１）は３の倍数である。

大問３（データの活用・数量変化）

（１）①

範囲＝最大値－最小値
ヒゲ～ヒゲの長さが最も短いのは13～15時
エ

②
９～11時の70人は第３四分位数（Q3）にあたる。
20個のQ3は上位10個の真ん中→上から５番目と６番目の平均。
70人以上は少なくとも５日ある。

③
11～13時は中央値（Ｑ2）が最も大きい。
四分位範囲＝Ｑ3－Ｑ1（箱の長さを示す）
11～13時は箱が最も短い→四分位範囲は最も小さい。
①…大きい、②…小さい
*四分位範囲は全データの真ん中に集まる約50％のデータを指す。
その50％がどの時間帯よりも値が大きい＝バスの利用者数が最も多いから、
11～13時のバスを増便すべきと提案した。

（２）①

〔１〕
Ｐは3600ｍを12分で走る。
速さは、3600÷12＝分速300ｍ

〔２〕
Ｐが２回目にＡを出発する時刻は、ｘ＝（12＋１）×２＝26
ｘ＝26

②
ＱがＢ駅に到着する時刻は、29－４＝25
Ｑは3600ｍを25－10＝15分間で走るから、
速さ（傾き）は3600÷15＝240
（10、０）から右に10、下に10×240＝2400移動して、切片は－2400
ｙ＝240ｘ－2400

③

１回目のすれ違いは●
水色の相似に着目する。
相似比は、15：12＝⑤：④
ｙ＝3600×⑤/⑨＝2000

大問４（空間図形・関数）

（１）
底面積は、10×10＝100ｃｍ²
体積は900ｃｍ³だから、高さは900÷100＝９ｃｍ

（２）①

いずれも直方体を半分にするが、ふたがない面ＡＢＣＤから水をこぼしてできるのはウ。
*水面は地面に対して常に平行。イだと△ＡＢＣのところから水がこぼれる。
ウ

②

三角錐Ｃ―ＦＧＨの体積は、10×10÷２×９÷３＝150ｃｍ³

（３）①

升の高さは定数で、升１～３は高さが異なる。
ｙは升に水をいっぱい入れたときの水の体積＝升の体積
ｘは底面の正方形の１辺の長さ。ｘ²は升の底面積。
ｙ＝ａｘ²をａについて解くと、ａ＝ｙ/ｘ²＝升の体積÷升の底面積＝升の高さ
ａが升の高さだから、高さが最も高い→ａの値が最も大きいのは、
グラフの開きが最も小さい升１である。
ア

②〔１〕

高さａ＝４だから、升３はｙ＝４ｘ²
これにｙ＝900を代入して、
４ｘ²＝900
ｘ²＝225
ｘ＞０より、ｘ＝15

〔２〕
升２のａを求める。
ＰＳ＝⑤とすると、ＰＲ＝④だから、
Ｒのｘ座標は、15×④/⑤＝12
ｙ＝ａｘ²にＲ（12、900）を代入。
900＝12²ａ
ａ＝25/４
25/４ｃｍ

大問５（平面図形）

（１）①

△ＡＢＤは辺の比が１：２：√３の直角三角形。
ＢＤ＝４÷２＝２ｃｍ
ＡＤ＝２√３ｃｍ

②
△ＡＣＤは辺の比が１：１：√２の直角二等辺。
ＤＣ＝２√３ｃｍ
△ＡＢＣの面積は、（２＋２√３）×２√３÷２＝２√３＋６ｃｍ²

（２）①
△ＣＦＤ∽△ＣＥＢの証明。

∠ＣＦＤ＝∠ＣＥＢ＝90°
共通角より、∠ＦＣＤ＝∠ＥＣＢ
２角相等で∽

②〔１〕

∠ＡＥＢ＝90°
半円の弧に対する円周角は直角だから、直径をＡＢとする円の円周上にＥがある。
円の中心はＡＢの中点。
ＡＢの垂直二等分線を描き、ＡＢとの交点がＯ

〔２〕

直角二等辺ＡＣＤ、ＤＦ⊥ＡＣに着目する。
△ＤＣＦと△ＤＡＦも直角二等辺→ＦはＡＣの中点である。

ＯとＦはそれぞれＡＢ、ＡＣの中点。
中点連結定理より、ＯＦ＝ＢＣ÷２＝（２＋２√３）÷２＝１＋√３ｃｍ

〔３〕

△ＥＯＦの底辺ＯＦの長さがわかったので、高さがわかればいい。
ＥからＯＦに垂線、足をＨとする。ＥＨが知りたい。
先ほどの中点連結定理からＯＦ//ＢＣ→同位角で∠ＥＦＨ＝45°
△ＥＦＨも直角二等辺だから、１：１：√２より斜辺ＥＦさえわかればＥＨが求まる。

△ＡＣＤは直角二等辺→ＡＣ＝２√３×√２＝２√６ｃｍ
ＦはＡＣの中点→ＦＣ＝２√６÷２＝√６ｃｍ

ここで①△ＣＦＤ∽△ＣＥＢを用いる。
ＣＦ：ＦＥ＝ＣＤ：ＤＢ＝√３：１
ＥＦ＝√６×２/２√３＝√２ｃｍ
△ＥＦＨで１：１：√２→ＥＨ＝１ｃｍ
△ＥＯＦの面積は、（１＋√３）×１÷２＝（１＋√３）/２ｃｍ²